【PMSM矢量控制系列】坐标变换详细推导

矢量控制中所用的坐标系有两种：一种是静止坐标系，一种是旋转坐标系。基于定子的三相绕组构成的三项定子abc坐标系和由固定在A轴上的α轴和与之垂直的β轴所组成的两相正交静止坐标系，与转子轴线重合的d轴及超前d轴90°的q轴组成的旋转坐标系。

Clarke变换

功率不变约束

合成磁动势不变约束

Clarke逆变换

Park变换及其逆变换

小结

Clarke变换

三相定子坐标系abc与两相定子坐标系αβ之间的变换，称为Clarke变换，也叫3/2变换，如下图所示：

A相绕组轴线与α轴重合，β轴与α轴相互垂直，三相绕组坐标系abc与两相绕组坐标系αβ都是静止坐标，分别对应的交流电流为ia，ib，ic和iα，iβ。

设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2,各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于对应相的坐标轴上。

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与两相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在αβ轴上的投影都应相等。

根据上图可得3/2变换关系式：

将上述两式写为矩阵形式：

即3/2变换矩阵为：

那么，N3/N2是多少呢？

坐标变换是一种线性变换,如无约束,变换就不是唯一的。在电机的系统分析中,通常采用两种原则作为坐标变换的约束条件:

（1)功率不变原则,即变换前后电机的功率保持不变；

（2)合成磁动势不变约束，即变换前后电机的合成磁动势保持不变。

功率不变约束

功率不变时坐标变换阵的性质：

原坐标下：

新坐标下：

设对应转换关系：

那么功率不变约束下:

即：

上式根据坐标系转换关系得：

所以：

一般情况下，电压和电流变换阵都取同一矩阵，即令：

则：

前面推导出3/2变换及匝数比如下：

3/2变换矩阵为：

那么

所以

即，在功率不变约束下，3/2变换矩阵为：

合成磁动势不变约束

将abc三相电流及αβ两相电流写成时域形式：

再根据3/2变换关系式：

考虑任何时刻变换前后等幅值，将wt=0代入，得：

即

即，在合成磁动势不变约束下，3/2变换矩阵为：

Clarke逆变换

将静止2轴α-β坐标系变换到静止3轴3相定子参考坐标系。从数学角度来看，该变换是通过Clarke逆变换来实现的。

Clarke逆变换示意图如下图所示。

考虑变换前后总功率不变，根据

得：

即：

考虑变换前后幅值不变，根据

得：

即：

Park变换及其逆变换

现在，已使定子电流在一个两坐标轴分别标为α、β的2轴正交系中得以表达。下一步将其变换到另一个随着转子磁通旋转的2轴系统中。这种变换就是Park变换，其示意图如下图所示。该2轴旋转坐标系的坐标轴称为dq轴。θ表示转子角度。

Park变换中，两个交流电流iα、iβ和两个直流电流id、iq，可以产生同样的以转速旋转得合成磁动势。

举例来说，如下图：

交流电流iα、iβ和两个直流电流id、iq，产生同样的以ω1速度旋转的合成磁动势Fs(is)。d轴q轴和矢量Fs(is)都是以ω1的速度旋转，分量id、iq的幅值不变。d轴与α轴的夹角φ随时间变化。

分析可得id、iq与iα、iβ之间存在如下关系：

写成矩阵形式为：

静止两相正交坐标系到旋转正交坐标系的变换矩阵，即Park变换矩阵为：

也就是

旋转正交坐标系到静止两相正交坐标系的变换矩阵，即Park逆变换矩阵为：

也就是：

同理，电压和磁链的旋转变换矩阵与电流的旋转变换矩阵是相同的。

小结

综上所述，结合矢量控制框图，Clarke变换和Park变换中各变量的关系见下图：