信息学奥赛一本通 1955：【11NOIP普及组】瑞士轮 | OpenJudge NOI 4.1 4363:瑞士轮

【题目链接】

ybt 1955：【11NOIP普及组】瑞士轮
OpenJudge NOI 4.1 4363:瑞士轮
洛谷 P1309 [NOIP2011 普及组] 瑞士轮

【题目考点】

1. 归并排序

2. stl 排序相关函数

stl:快速排序：
sort(f1，l1，cmp);
f1: stl容器起始迭代器，或数组第1个元素的指针。
l1：stl容器末尾迭代器，或数组最后一个元素后一个位置的指针。
cmp：比较函数
bool cmp(a，b)
参数a与b的类型必须是容器内元素的类型或数组中元素的类型。
返回值为真，则元素a排在前面。返回值为假，则元素b排在前面。
stl合并有序序列
merge(f1, l1, f2, l2, r, cmp)
f1, l1：容器1的起始与末尾迭代器，或数组1的第一个与最后一个元素后一个位置的指针。
f2, l2：容器2的起始与末尾迭代器，或数组2的第一个与最后一个元素后一个位置的指针。
r：存放结果的容器的起始迭代器，或存放结果的数组的第一个元素的指针
cmp：比较函数
bool cmp(a，b)
参数a与b的类型必须是容器内元素的类型或数组中元素的类型。
返回值为真，则元素a排在前面。返回值为假，则元素b排在前面。

【解题思路】

直接思路：每次用sort函数排序，排名相邻的选手比赛，修改分数后继续排序。该算法需要进行rrr次排序，每次排序的复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)，题目中r能达到50，元素个数为题目中n的二倍，能达到2∗1052*10^52∗105，所以整体复杂度量级为r∗n∗log2n=50∗2∗105∗log2(2∗105)=107(log22+5log210)≤107(log22+5log216)=2.1∗108r*n*log_2{n}=50*2*10^5*log_2{(2*10^5)}=10^7(log_2{2}+5log_2{10})\le10^7(log_2{2}+5log_2{16})=2.1*10^8r∗n∗log2n=50∗2∗105∗log2(2∗105)=107(log22+5log210)≤107(log22+5log216)=2.1∗108，不出意外的话一定会超时的。因此这一直接的思路是不行的。

解法1：合并有序序列（归并）

第一次排序后，排名相邻的两选手之间比赛。胜方加1分，负方加0分。考察各选手得分的规律。
记sis_isi为第i名选手的分数，siws_{iw}siw为第i名选手与第i+1名选手比赛中胜者的分数，sils_{il}sil为败者的分数。
按分数排序后，取任意两组要进行比赛的选手，第iii名与第i+1i+1i+1名比赛，第jjj名与第j+1j+1j+1名比赛，且i+1<ji+1<ji+1<j，那么一定有：si≥si+1≥sj≥sj+1s_i \ge s_{i+1} \ge s_j \ge s_{j+1}si≥si+1≥sj≥sj+1
现在第iii名与第i+1i+1i+1名进行比赛

如果第iii名选手获胜，则siw=si+1，sil=si+1s_{iw}=s_i+1，s_{il}=s_{i+1}siw=si+1，sil=si+1。
如果第i+1i+1i+1名选手获胜，则siw=si+1+1，sil=sis_{iw}=s_{i+1}+1，s_{il}=s_{i}siw=si+1+1，sil=si

第jjj名与第j+1j+1j+1名进行比赛

如果第jjj名选手获胜，则sjw=sj+1，sjl=sj+1s_{jw}=s_j+1，s_{jl}=s_{j+1}sjw=sj+1，sjl=sj+1。
如果第j+1j+1j+1名选手获胜，则sjw=sj+1+1，sjl=sjs_{jw}=s_{j+1}+1，s_{jl}=s_{j}sjw=sj+1+1，sjl=sj

可以看出，无论是何种情况，总是有siw≥sjws_{iw}\ge s_{jw}siw≥sjw且sil≥sjls_{il}\ge s_{jl}sil≥sjl
即，每次比赛后的获胜方的分数为降序序列，失败方的分数也是降序序列。
考虑到分数相等时比较编号，也会有相同的结论。
接下来就是将两个有序序列合并为一个有序序列的过程。
这一方法在归并排序中有使用，合并有序序列的复杂度为O(n)O(n)O(n)
具体写代码时：
写法1：可以将胜方与败方分别放入两个数组，而后合并有序序列。
写法2：数组下标奇数保存胜方，下标偶数保存败方。
使用该算法完成该题，需要循环r次，每次合并有序数组，复杂度为O(r∗n)O(r*n)O(r∗n)，r∗n=50∗2∗105=107r*n=50*2*10^5=10^7r∗n=50∗2∗105=107，可以通过。

【题解代码】

解法：合并有序序列（归并）

写法1：将胜方与败方分别放入两个数组，而后合并有序序列。

手写合并有序序列

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
struct Per//选手
{int i, s, w;//i:编号 s:分数 w:实力
}a[N], w[N], l[N];//a:所有数据 w:胜者组 l:败者组
int n, r, q;
bool cmp(Per a, Per b)
{if(a.s == b.s)return a.i < b.i;//分数相等 编号小的在前 elsereturn a.s > b.s;//分数高的排在前
}
void merge()//合并有序序列w与l
{int i = 1, j = 1, ai = 1;while(i <= n && j <= n){if(cmp(w[i], l[j]))//如果w[i]比l[j]优先 a[ai++] = w[i++];elsea[ai++] = l[j++];}while(i <= n)a[ai++] = w[i++];while(j <= n)a[ai++] = l[j++];
}
int main()
{scanf("%d %d %d", &n, &r, &q);for(int i = 1; i <= 2*n; ++i){scanf("%d", &a[i].s);a[i].i = i;//设置编号 }for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)scanf("%d", &a[i].w);sort(a+1, a+1+2*n, cmp);while(r--){for(int i = 1; i <= n; i++){if(a[2*i].w > a[2*i-1].w)//2*i与2*i-1进行一场比赛 {a[2*i].s++;w[i] = a[2*i];l[i] = a[2*i-1];}else{a[2*i-1].s++;w[i] = a[2*i-1];l[i] = a[2*i];}}merge();}printf("%d", a[q].i);return 0;
}

使用stl merge函数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
struct Per//选手
{int i, s, w;//i:编号 s:分数 w:实力
}a[N], w[N], l[N];//a:所有数据 w:胜者组 l:败者组
int n, r, q;
bool cmp(Per a, Per b)
{if(a.s == b.s)return a.i < b.i;//分数相等 编号小的在前 elsereturn a.s > b.s;//分数高的排在前
}
int main()
{scanf("%d %d %d", &n, &r, &q);for(int i = 1; i <= 2*n; ++i){scanf("%d", &a[i].s);a[i].i = i;//设置编号 }for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)scanf("%d", &a[i].w);sort(a+1, a+1+2*n, cmp);while(r--){for(int i = 1; i <= n; i++){if(a[2*i].w > a[2*i-1].w)//2*i与2*i-1进行一场比赛 {a[2*i].s++;w[i] = a[2*i];l[i] = a[2*i-1];}else{a[2*i-1].s++;w[i] = a[2*i-1];l[i] = a[2*i];}}merge(w+1, w+1+n, l+1, l+1+n, a+1, cmp);//stl merge函数 合并有序序列 }printf("%d", a[q].i);return 0;
}

写法2：数组下标奇数保存胜方，下标偶数保存败方

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
struct Per//选手
{int i, s, w;//i:编号 s:分数 w:实力
}a[N], t[N];
int n, r, q;
bool cmp(Per a, Per b)
{if(a.s == b.s)return a.i < b.i;//分数相等 编号小的在前 elsereturn a.s > b.s;//分数高的排在前
}
int main()
{scanf("%d %d %d", &n, &r, &q);for(int i = 1; i <= 2*n; ++i){scanf("%d", &a[i].s);a[i].i = i;//设置编号 }for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)scanf("%d", &a[i].w);sort(a+1, a+1+2*n, cmp);while(r--){for(int i = 1; i < 2*n; i += 2){if(a[i].w > a[i+1].w)//i与i+1进行一场比赛 a[i].s++;else{a[i+1].s++;swap(a[i], a[i+1]);//使胜者的下标为奇数 }}int i = 1, j = 2, ti = 1;while(i <= 2*n-1 && j <= 2*n)//合并下标为奇数的部分与下标为偶数的部分 {if(cmp(a[i], a[j])){t[ti++] = a[i];i += 2;}else{t[ti++] = a[j];j += 2;}}while(i <= 2*n-1){t[ti++] = a[i];i += 2;}while(j <= 2*n){t[ti++] = a[j];j += 2;}for(int i = 1; i <= 2*n; ++i)a[i] = t[i];}printf("%d", a[q].i);return 0;
}