考研概统真题思考联合概率密度和条件概率密度问题

在复习考研的过程中，遇到一种类型的考研真题，觉得很有意思，特此记录一下，也希望后来遇到此类困惑的同学能够少走一些弯路

先附上题目：
(2004年考研数4)
设随机变量 XXX 在区间 (0,1)(0,1)(0,1) 内服从均匀分布,在 X=x(0<x<1)X=x(0<x<1)X=x(0<x<1) 的条件下. 姢机荌量 YYY 在区间 (0,x)(0, x)(0,x) 内服从均匀分布, 求：
(1) 随机变量 XXX 和 YYY 的联合概率密度;
(2) YYY 的概率密度;
(3) 概率P{X+Y>1}P\{X+Y>1\}P{X+Y>1} ；

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(2013年考研真题)
设 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 是二维随机变量, XXX 的边橡概率密度为
fX(x)={3x2,0<x<1. 0,其他. f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}3 x^2, & 0<x<1 \text {. } \\ 0, & \text { 其他. }\end{array}\right.fX(x)={3x2,0,0<x<1. 其他. 在给定 X=x(0<x<1)X=x(0<x<1)X=x(0<x<1) 的条件下 YYY 的条件概率密度为
fXx(y∣x)={3y2x2,0<y<x，0,其他. f_{X x}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{3 y^2}{x^2}, & 0<y<x ， \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right. fXx(y∣x)={x23y2,0,0<y<x，其他.
(1) 求 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的概率密度 f(x,y)f(x, y)f(x,y);
(3) 求 P{X>2Y}P\{X>2 Y\}P{X>2Y}

首先能看出这两个题都是给出条件概率密度求概率密度
自然联想到公式

f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)f(x,y)=f_X(x) \ f_{Y|X}(y|x) f(x,y)=fX(x) fY∣X(y∣x)
对于第二个题来说（第一题也是一样）
直接就这样写了
f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)={9y2x,0<y<x<1,0,其他. f(x, y)=f_X(x) f_{Y \mid X}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{lc} \frac{9 y^2}{x}, & 0<y<x<1, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right. f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)={x9y2,0,0<y<x<1, 其他.

然而这是错误的

因为什么呢，我们一步步分析

首先题给的条件是在

X=x(0<x<1)X=x \ \ (0<x<1)X=x (0<x<1)的条件下Y有一个条件概率密度

所以我们从逻辑上推导，如果我们运用上面的公式求出的联合概率密度，它也是在这个条件下才成立，也就是说，我们不知道不在这个条件下，联合概率密度还是不是我们求得的那个表达式了

比如说我再给一个条件

当 X=x(x>1)X=x \ \ (x>1)X=x (x>1) 的条件下Y的条件概率密度是0.2

当然这个条件是瞎给的，没有经过验算，所以最终可能算得的联合概率密度f(x,y)不能满足
∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=1\int_{-\infin}^{\infin}\int_{-\infin}^{\infin}f(x,y)dxdy=1 ∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=1
但是不重要，只要我们意识到还存在另外的可能就行

所以我们回到原先的思路上，就是现在我们不确定在其他条件下，y的条件概率密度是不是还有其他的表达式

那我们怎么办呢？
那就先求已有的，先求出来：

0<x<1时 f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)={9y2x,0<y<x,0,其他. 0<x<1 \text { 时 } f(x, y)=f_X(x) f_{Y \mid X}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{9 y^2}{x}, & 0<y<x, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right. 0<x<1 时 f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)={x9y2,0,0<y<x, 其他.

就是这个，接下来我们想知道这个是不是最终的答案，那么也很简单，就是求一下这个
∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy\int_{-\infin}^{\infin}\int_{-\infin}^{\infin}f(x,y)dxdy ∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy

看它等不等于1，如果等于一，说明其他情况下都等于0，因为如果其他情况下不等于0，那么俩相加肯定大一1，这就不满足密度函数的定义了

所以我们去求，结果还真等于1
那么这个时候就可以写答案了
f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)={9y2x,0<y<x<1,0,其他. f(x, y)=f_X(x) f_{Y \mid X}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{lc} \frac{9 y^2}{x}, & 0<y<x<1, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right. f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)={x9y2,0,0<y<x<1, 其他.

看着这个答案和最开始答案是一木一样的，但是中间的思考和证明过程必不可少，会扣分。

---------------（分割线）----------------------------------------------------------------

接下来附上比较严谨的说明和证明过程：

第一题
说明:
先给出了 fY∣X(y∣x)f_{Y | X}(y \mid x)fY∣X(y∣x), 反讨来求 f(x,y)f(x, y)f(x,y).
如果先给 f(x,y)f(x, y)f(x,y), 则求出 fx(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyf_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} yfx(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy, 在 fX(x)>0f_X(x)>0fX(x)>0 的条件下求出
fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x),fX(x)>0f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)}, f_X(x)>0 fY∣X(y∣x)=fX(x)f(x,y),fX(x)>0
如果先给 fYX(y∣x)=f(x,y)fX(x),fX(x)>0f_{Y X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)}, f_X(x)>0fYX(y∣x)=fX(x)f(x,y),fX(x)>0, 则 f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x),fX(x)>0f(x, y)=f_X(x) f_{Y \mid X}(y \mid x), f_X(x)>0f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x),fX(x)>0. 但 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 是定义在 −∞<x<+∞,−∞<y<+∞-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty−∞<x<+∞,−∞<y<+∞ 上的, 仅给出 fX(x)>0f_X(x)>0fX(x)>0 的这部分是显然不全的.还得补 fX(x)=0f_X(x)=0fX(x)=0 的部分

现题给 X∼U(0,1)X \sim U(0,1)X∼U(0,1), 即有
fX(x)={1,0<x<1,0,其他. f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{array}\right. fX(x)={1,0,0<x<1, 其他.
在 X=x(0<x<1)X=x(0<x<1)X=x(0<x<1) 的条件下, 即有 fX(x)>0f_X(x)>0fX(x)>0 条件下, fY∣X(y∣x)∼U(0,x)f_{Y \mid X}(y \mid x) \sim U(0, x)fY∣X(y∣x)∼U(0,x), 所以
fY∣X(y∣x)={1x,0<y<x,0,其他. fX(x)>0.f_{Y \mid X}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{lc} \frac{1}{x}, & 0<y<x, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array} \quad f_X(x)>0 .\right. fY∣X(y∣x)={x1,0,0<y<x, 其他. fX(x)>0.
由于 fX(x)>0f_X(x)>0fX(x)>0 等价于 0<x<10<x<10<x<1, 上式我们可以改写成
fY∣X(y∣x)={1x,0<y<x<1,0,0<x⩽y<1或 y⩽0<x<1.f_{Y \mid X}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{lc}\frac{1}{x}, & 0<y<x<1, \\ 0, & 0<x \leqslant y<1 \text { 或 } y \leqslant 0<x<1 .\end{array}\right. fY∣X(y∣x)={x1,0,0<y<x<1,0<x⩽y<1 或 y⩽0<x<1.

根据公式: f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)0<x<1f(x, y)=f_X(x) f_{Y \mid X}(y \mid x) \quad 0<x<1f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)0<x<1;
fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx;P{X+Y>1}=∬x+y>1f(x,y)dxdy.f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x ; P\{X+Y>1\}=\iint_{x+y>1} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx;P{X+Y>1}=∬x+y>1f(x,y)dx dy.
不难求得 (1) (2)(3).

求解过程：
当 fX(x)>0f_X(x)>0fX(x)>0 时, 即 0<x<10<x<10<x<1 时, f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x)f(x, y)=f_X(x) f_{Y \mid X}(y \mid x)f(x,y)=fX(x)fY∣X(y∣x). 故当0<x<10<x<10<x<1 时
f(x,y)={1x,0<y<x<1,0,0<x⩽y<1或 y⩽0<x<1,0<x<1⩽y. \quad f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & 0<y<x<1, \\ 0, & 0<x \leqslant y<1 \text { 或 } y \leqslant 0<x<1,0<x<1 \leqslant y \text {. }\end{cases} f(x,y)={x1,0,0<y<x<1,0<x⩽y<1 或 y⩽0<x<1,0<x<1⩽y.
由于 ∫01dx∫−∞+∞f(x,y)dy=∫01dx∫0x1xdy=∫01dx=1\quad \int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{x} \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} x=1∫01 dx∫−∞+∞f(x,y)dy=∫01 dx∫0xx1 dy=∫01 dx=1

又由于 f(x,y)⩾0,∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1\quad f(x, y) \geqslant 0, \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1f(x,y)⩾0,∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dx dy=1

可知当 x⩽0x \leqslant 0x⩽0 或 x⩾1x \geqslant 1x⩾1 时, f(x, y)=0
总之
f(x,y)={1x,0<y<x<1,0,其他. f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}\frac{1}{x}, & 0<y<x<1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{array}\right. f(x,y)={x1,0,0<y<x<1, 其他.

第二题就不写了，留给读者自证

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