扩展欧几里得复习篇。

由于多校考了欧几里得，所以这里复习一波扩欧。

这里主要讲解利用扩欧求解二元一次方程的整数解问题。

0.求解： a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)。

根据欧几里得知识可知： g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

所以有式子：

{ a x + b y = g c d ( a , b ) b x 1 + ( a % b ) y 1 = g c d ( b , a % b ) \begin{cases}ax+by=gcd(a,b)\\bx_1+(a\%b)y_1=gcd(b,a\%b)\end{cases} {ax+by=gcd(a,b)bx1+(a%b)y1=gcd(b,a%b)

即: a x + b y = b x + ( a % b ) y ax+by=bx+(a\%b)y ax+by=bx+(a%b)y.

令: a % b = ( a − ⌊ a b ⌋ × b ) a\%b=(a-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\times b) a%b=(a−⌊ba⌋×b)。

则有：

a x + b y = b x 1 + ( a − ⌊ a b ⌋ × b ) y 1 a x + b y = a y 1 + b ( x 1 − ⌊ a b ⌋ y 1 ) ax+by=bx_1+(a-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\times b)y_1\\ax+by=ay_1+b(x_1-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y_1) ax+by=bx1+(a−⌊ba⌋×b)y1ax+by=ay1+b(x1−⌊ba⌋y1)

即 x = y 1 , y = ( x 1 − ⌊ a b ⌋ y 1 ) x=y_1,y=(x_1-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y_1) x=y1,y=(x1−⌊ba⌋y1)

显然我们只要知道了 x 1 , y 1 , a , b x_1,y_1,a,b x1,y1,a,b就能求出 x , y x,y x,y。因此不断往下递归。

因为我们知道 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)最终会递归到 b = 0 b=0 b=0的时候，这是 g c d = a gcd=a gcd=a。

所以对应 a x k + b y k = g c d = a , b = 0 → x k = 1 , y k = 0 ax_k+by_k=gcd=a,b=0\rightarrow x_k=1,y_k=0 axk+byk=gcd=a,b=0→xk=1,yk=0.

求出最底层的 x k , y k x_k,y_k xk,yk后，我们就可以不断回溯，求出 x , y x,y x,y了。

我们知道特解就可以求出通解了.

令 g = g c d ( a , b ) , c = b g , d = a g g=gcd(a,b),c=\dfrac{b}{g},d=\dfrac{a}{g} g=gcd(a,b),c=gb,d=ga

有 a c t = b d t = a b t g act=bdt=\dfrac{abt}{g} act=bdt=gabt， t ∈ N t\in N t∈N.

则通解 { x = x 0 + c t y = y 0 − d t \begin{cases}x=x_0+ct\\y=y_0-dt\end{cases} {x=x0+cty=y0−dt

因为 a ( x 0 + c t ) + b ( y 0 − d t ) = a x 0 + b y 0 + ( a c t − b d t ) = a x 0 + b y 0 = g c d ( a , b ) a(x_0+ct)+b(y_0-dt)=ax_0+by_0+(act-bdt)=ax_0+by_0=gcd(a,b) a(x0+ct)+b(y0−dt)=ax0+by0+(act−bdt)=ax0+by0=gcd(a,b)

1.求解： a x + b y = z ax+by=z ax+by=z。

对应的：若 a x + b y = z ax+by=z ax+by=z有整数解，则 g c d ( a , b ) ∣ z gcd(a,b)|z gcd(a,b)∣z，即 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)能整除 z z z。

因此要求解 a x + b y = z ax+by=z ax+by=z。

我们可以先求出 a x 1 + b y 1 = g c d ( a , b ) ax_1+by_1=gcd(a,b) ax1+by1=gcd(a,b)的解 x 1 , y 1 x_1,y_1 x1,y1。

令 t = z g c d ( a , b ) t=\dfrac{z}{gcd(a,b)} t=gcd(a,b)z。

则 ( a x 1 + b y 1 ) × t = z → a ( t x 1 ) + b ( t y 1 ) = z (ax_1+by_1)\times t=z\rightarrow a(tx_1)+b(ty_1)=z (ax1+by1)×t=z→a(tx1)+b(ty1)=z.

即 x = t x 1 , y = t y 1 x=tx_1,y=ty_1 x=tx1,y=ty1。

因此该方程对应的特解我们就求出来,同理特解我们也能求出来。

2.求解： a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)的最小非负整数解。

因为我们可以得到通解 { x = x 0 + c t y = y 0 − d t \begin{cases}x=x_0+ct\\y=y_0-dt\end{cases} {x=x0+cty=y0−dt

所以我们只需要取适当的 t t t就可以使 x x x为非负数。

具体地:

i f ( x < 0 ) x = ( x 0 % c + c ) % c if(x<0)\ x=(x_0\%c+c)\%c if(x<0) x=(x0%c+c)%c，这里用取模就很容易实现。

然后我们判断一下 y y y是否为非负整数即可: y = ( g c d − a x ) b y=\dfrac{(gcd-ax)}{b} y=b(gcd−ax).

3.具体实现的代码(两种写法).

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=1,y=0;return;}exgcd(b,a%b,x,y);int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
}
/
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=1,y=0;return;}exgcd(b,a%b,y,x); //这里仔细体会一下,这里我们将x1赋给y,y1赋给x y-=(a/b)*x;
}