【OpenGL】平移、旋转和缩放矩阵推导

平移

将点p(x,y,z)平移到p’(x’,y’,z’)，在X轴、Y轴、Z轴三个方向上平移的距离分别为Tx，Ty，Tz，其中Tz为0（二维平面的平移），如图3.19所示。那么在坐标的对应分量上，直接加上这些T值，就可以确定p’的坐标了，如等式3.1所示。

比较等式3.5和等式3.1

这里第二个等式的右侧有常量项Tx，第一个等式没有，这意味着我们无法通过使用一个3X3的矩阵来表示平移。为了解决这个问题，我们可以使用一个4X4的矩阵，以及具有第四个分量（通常被设为1.0）的矢量。也就是说，我们假设点p的坐标为（x,y,z,1)，平移以后的点p’的坐标为（x’,y’,z’,1)，如等式3.8所示：

根据最后一个式子1=mx+ny+oz+p，很容易求出系数m=0，n=0，o=0，p=1。这些方程都有常数项d、h、l和p，看上去比较适合等式3.1（因为等式3.1中也有常数项）。等式3.1（平移）如下所示，我们将它与等式3.9进行比较：

比较x’，可知a=1，b=0，c=0，d=Tx；类似地，比较y’，可知e=0，f=1，g=0，h=Ty；比较z’，可知i=0，j=0，k=1，l=Tz。这样，你就可以写出来表示平移的矩阵，如等式3.10所示：

旋转
假设点p(x,y,z)绕Z轴旋转β角度以后变为了点p’(x’,y’,z’)：首选旋转是绕Z轴进行的，所以z坐标不会变；在图3.22中，r是从原点到点p的距离，而α是X轴旋转到点p的角度。用这两个变量计算出点p的坐标，如等式3.2所示。

类似地，你可以使用r，α，β来表示点p’的坐标：

通过三角函数两角和公式

可得：

最后，将等式3.2代入上式，消除r和α，可得等式3.3。

通过等式3.4可得等式3.5

将等式3.5与等式3.3进行比较：

这样的话，如果设a=cosβ，b=-sinβ，c=0，那么这两个等式就完全相同了。在看y’：

这样的话，设d=sinβ，e=cosβ，f=0，这两个等式也就完全相同了。最后关于z’的等式更简单，设g=0，h=0，i=1即可。

将这些结果带入等式3.4中，得到等式3.7：

将旋转矩阵从一个3X3矩阵变为一个4X4矩阵，只需要将方程3.3和方程3.9比较一下即可。

例如，当你通过比较x’=xcosβ-ysinβ与x’=ax+by+cz+d时，可知a=cosβ，b=-sinβ，c=0，d=0。以此类推，求得y’和z’等式中的系数，最终得到4X4的旋转矩阵，如等式3.11所示：

缩放
仍然假设最初点p，经过缩放操作以后变成了p’。

假设在三个方向X轴，Y轴，Z轴的缩放因子Sx，Sy，Sz不相关，那么有：

将上式与等式3.9比较，可知缩放操作的变换矩阵：

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