【概念】

从 n 个元素的集合 S 中，有序的选出 r 个元素，叫做 S 的一个 r 排列，不同的排列总数记作： $A_n^r$ 或 $A(n,r)$

如果两个排列所含元素不全相同，或所含元素相同但顺序不同，就会被认为是不同的排列。

【可重排列】

从 n 个不同元素可重复的取出 m 个元素，按照一定顺序排成一列，叫做相异元素可重复排列。

相异元素可重复排列的方案数为： $n^m$

例如：从1、2、3、4、5 中任取三个出来组成一个三位数，有 P(5,3)=60 种情况，如果每个数字可以重复使用，则有：5^3=125 种情况

【不可重排列】

不可重排列是指在 n 个不同元素中选 r 个元素按照顺序排成一列。

1.选排列

从 n 个不同元素取出 r 个元素，按照一定顺序排成一列，当 r<n 时，叫做从 n 个不同元素取出 r 个不同元素的一种选排列。

使用乘法原理，可以推出选排列 $A_n^r$ 的方案数： $A_n^r=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$

模版：输入两个整数 n、r，输出 A(n,r) 的所有方案

int n,r;
int data[N];
int vis[N];
void Done(int i){if(i==r){//若相等，说明已经生成一个排列for(int j=0;j<r-1;j++)//输出排列printf("%d",data[j]+1);printf("%d\n",data[r-1]+1);return;//回溯寻找下一种排列}for(int j=0;j<n;j++){if(!vis[j]){//若没有在该排列前面出现过vis[j]=true;data[i]=j;//该位置上就选择jDone(i+1);vis[j]=false;}}
}
int main(){memset(vis,false,sizeof(vis));scanf("%d%d",&n,&r);Done(0);return 0;
}

2.全排列

从 n 个不同元素取出 r 个元素，按照一定顺序排成一列，当 r=n 时，叫做 n 个不同元素的全排列。

全排列 $A_n^r$ 的方案数： $A_n^n=n!$

C++ 中，头文件<algorithm> 里的 next_permutation() 函数，可产生字典序的全排列。

关于 next_permutation() 函数：点击这里

如下，给出从一组全排列的情况，使用 next_permutation() 函数可以生成下一种的全排列的情况，因此一般先使用 sort() 进行排序，即可生成所有全排列的情况。

int a[N];
int main(){int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);sort(a,a+n);do{for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",a[i]);printf("\n");}while(next_permutation(a,a+n));return 0;
}

【不全相异排列】

1.不全相异元素的选排列

若在 n 个元素中，有 $n_1$ 个元素彼此相同， $n_2$ 个元素彼此相同，...， $n_m$ 个元素彼此相同，且 $n_1+n_2+...+n_m=r$ ，则这 n 个元素选出 r 个的选排列叫做不全相异元素的选排列。

其排列数计算公式为： $\frac{A(n,r)}{(n_1!*n_2!*...*n_m!)}$

2.不全相异元素的全排列

若在 n 个元素中，有 $n_1$ 个元素彼此相同， $n_2$ 个元素彼此相同，...， $n_m$ 个元素彼此相同，且 $n_1+n_2+...+n_m=n$ ，则这 n 个元素的全排列叫做不全相异元素的全排列。

其排列数计算公式为： $\frac{n!}{(n_1!*n_2!*...*n_m!)}$

【错位排列】

设 $(a_1,a_2,...,a_n)$ 是 $\{1,2,...,n\}$ 的一个全排列，若对任意的 $i \in \{1,2,...,n\}$ 都有 $a_i\neq i$ ，则称 $(a_1,a_2,...,a_n)$ 是 $\{1,2,...,n\}$ 的错位排列。

用 $D_n$ 表示 $\{1,2,...,n\}$ 的错位排列的个数，有： $D_n=n!*(1-\frac{1}{1}!+\frac{1}{2}!-\frac{1}{3}!+...+\frac{(-1)^n}{n}!)$

例题：书架上有 6 本书，编号为 1-6 ，取出来再放回去，要求每本书都不在原来的位置上，有多少种放法？

分析：本题是要求 1-6 的错位排列，使用容斥原理有：

$D_6=6!*(1-\frac{1}{1}!+\frac{1}{2}!-\frac{1}{3}!+\frac{1}{4}!-\frac{1}{5}!+\frac{1}{6}!)=265$

【圆排列】

从 n 个不同元素中选取 r 个元素，不分首尾地围成一个圆圈的排列叫做圆排列，其排列方案数为： $\frac{A(n,r)}{r}$

当 r=n 时，则为圆排列的全排列，其排列方案数为： $\frac{n!}{n}=(n-1)!$

例题：有男女各 5 人，其中有 3 对夫妇，沿 10 个位置的圆桌就座，若每对夫妇都要坐在相邻的位置上，有多少种坐法？

分析：先让 3 对夫妇中的妻子和其他 4 人就坐，根据圆排列公式，共有 7!/7=6！种坐法，然后每位丈夫都可以做到自己的妻子左右两边，因此共有 6!*2*2*2=5760 种坐法。

【例题】

排列2（HDU-1716）(全排列)：点击这里
Reconciled?（AtCoder-2642）(全排列)：点击这里
火星人（洛谷-P1088）(next_permutation() 函数)：点击这里
重排列得到2的幂（51Nod-2515）(next_permutation() 函数+打表)：点击这里
Hard to prepare（2018 ACM-ICPC 徐州赛区网络赛 A）(环形排列+递推)：点击这里
permutation 1（HDU-6628）(全排列+思维)：点击这里

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