CSUSTOJ-藤原书记想要探病（简单矩阵快速幂）

题目连接：http://acm.csust.edu.cn/problem/4044
博客园食用链接： https://www.cnblogs.com/lonely-wind-/p/13941879.html

Description

呜呜呜，辉夜大小姐生病了，学生会的三人正在决定由谁去探病，藤原书记知道辉夜大小姐生病后会变的非常可爱，所以她非常想要获得这次探病的机会，于是她提出了一个数学游戏，显然，向白银和石上挑战数学游戏是非常的愚蠢的，但是这次不一样，他找到了秀知院数学第一的你来帮她作弊，这次的游戏的内容和斐波那契数列有关。

斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)F(0)=0，F(1)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2)

这次游戏分为两个问题：

首先给定一个 nnn

问题一：你要在斐波那契数列中选择任意个不重复的数，使这几个数的和等于 nnn ，如果存在合法的方案，请输出 DarlingDarlingDarling ，否则输出 ohayouo~ha~youo ha you 。

问题二：你可以在 1,2,41, 2, 41,2,4 这三个数中每个数选择任意多个，使这些数的和为 nnn ，请计算出有多少种选择的方案数，这个方案数可能很大，请把结果对 998244353998244353998244353 取模后输出。注意，数字先后选择顺序不同也代表不同方案数，请看样例解释。

这对藤原书记来说太难了，所以请你尽快计算出答案，使她可以去探病。

input

输入第一行一个整数TTT表示数据组数。

接下来TTT行每行一个整数表示nnn。

1≤T≤20,1≤n≤100000000001\le T\le 20, 1\le n\le 100000000001≤T≤20,1≤n≤10000000000。

output

每组数据都输出222行，表示两个问题的答案。

Sample Input 1
2
2
4
Sample Output 1
Darling
2
Darling
6

Hint

对于第一组数据：

第一个问题，PPH直接跳一步且步长为222米即可。

第二个问题，PPH有两种方案：{1,1},{2}\{1,1\},\{2\}{1,1},{2}。

对于第二组数据：

第一个问题，PPH先跳一步且步长为111米，再跳一步步长为333米即可。

第二个问题，PPH有六种方案：{1,1,1,1},{1,1,2},{1,2,1},{2,2},{2,1,1},{4}\{1,1,1,1\},\{1,1,2\},\{1,2,1\},\{2,2\},\{2,1,1\},\{4\}{1,1,1,1},{1,1,2},{1,2,1},{2,2},{2,1,1},{4}。

emmm，刚开始的时候看到这题还感觉出的太简单了，这不是送分嘛。。。后来瞄了一眼数据范围，emmm，挺好的，加了个算法，虽然挺裸的，但没学过还真不知道怎么搞。

首先暴力的写法很简单，就是一个递推式子：dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]+dp[i−4]dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-4]dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]+dp[i−4]，对于第一问其实我们可以直接得出Darling，因为所有的整数都可以用斐波那契数列来表示的，所以并不会有什么no的方案。

这题关键的地方在于求解方案数，也就是第二问。我们知道快速求一个递推式可以使用矩阵来加速它，那么直接上手就完事了。由于递推式中有到i-4这里，所以我们需要用到4维矩阵，那么也就是构建一个方阵A使得
A⋅(fn−1fn−2fn−3fn−4)=(fnfn−1fn−2fn−3)A\cdot \begin{pmatrix} f_{n-1}\\f_{n-2} \\ f_{n-3} \\ f_{n-4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_n\\ f_{n-1} \\ f_{n-2} \\ f_{n-3} \end{pmatrix}A⋅⎝⎜⎜⎛fn−1fn−2fn−3fn−4⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛fnfn−1fn−2fn−3⎠⎟⎟⎞
那么我们很容易得到
A=(1101100001000010)A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎛1100101000011000⎠⎟⎟⎞

于是矩阵快速幂写一写，实际上也就是个普通的快速幂加上一个矩阵乘法而已。

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int mod=998244353;struct Mat
{ll mat[5][5];Mat(){memset(mat,0,sizeof mat);}
};
ll dp[6];Mat mult(Mat a,Mat b)
{Mat ans;for (int i=1; i<=4; i++)for (int j=1; j<=4; j++)for (int k=1; k<=4; k++)ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;return ans;
}Mat qick(Mat a,ll b)
{Mat ans;ans.mat[1][1]=ans.mat[2][2]=ans.mat[3][3]=ans.mat[4][4]=1;while (b){if (b&1) ans=mult(ans,a);b>>=1;a=mult(a,a);}return ans;
}int main(int argc, char const *argv[])
{int t;dp[1]=1; dp[2]=2; dp[3]=3; dp[4]=6;scanf ("%d",&t);while (t--){ll n;scanf ("%lld",&n);printf ("Darling\n");if (n<=4) {printf ("%lld\n",dp[n]); continue;}Mat a;a.mat[1][1]=a.mat[1][2]=a.mat[1][4]=1;a.mat[2][1]=a.mat[3][2]=a.mat[4][3]=1;Mat ans=qick(a,n-4);Mat base;base.mat[1][1]=dp[4]; base.mat[2][1]=dp[3]; base.mat[3][1]=dp[2]; base.mat[4][1]=dp[1];ans=mult(ans,base);printf("%lld\n",ans.mat[1][1]);}return 0;
}