GL(m)

李群与李代数的关系GL(m)(矩阵det非零)↦gl(m)(也为矩阵，任意m方阵)李群与李代数的关系\\ GL(m)(矩阵det非零)\mapsto gl(m)(也为矩阵，任意m方阵)李群与李代数的关系GL(m)(矩阵det非零)↦gl(m)(也为矩阵，任意m方阵)

SO(3)

SO(3)的流型是半径为π的"实心球体"，球体每一点就是SO(3)的一个群元，其与远点的向量即为旋转轴,距离即为角度SO(3)的流型是半径为\pi 的"实心球体"，\\ 球体每一点就是SO(3)的一个群元，其与远点的向量即为旋转轴,距离即为角度SO(3)的流型是半径为π的"实心球体"，球体每一点就是SO(3)的一个群元，其与远点的向量即为旋转轴,距离即为角度

"实心球体"是一种粗略的说法，需要将Z与Z’认同为(粘起来，商拓扑)同一个点，叫做对径认同"实心球体"是一种粗略的说法，需要将Z与Z’认同为(粘起来，商拓扑)同一个点，叫做对径认同"实心球体"是一种粗略的说法，需要将Z与Z’认同为(粘起来，商拓扑)同一个点，叫做对径认同

O(m)↦o(m)SO(m)↦so(m)o(m)=so(m)={m实方阵A∣AT=−A}O(m) \mapsto o(m) \\ SO(m) \mapsto so(m) \\ o(m) =so(m) =\{ m实方阵A| A^T=-A \} \\ O(m)↦o(m)SO(m)↦so(m)o(m)=so(m)={m实方阵A∣AT=−A}

泡利矩阵

泡利矩阵τi是厄米的，不是反厄的，连基底都不是，需要略加改造。泡利矩阵\tau_i是厄米的，不是反厄的，连基底都不是，需要略加改造。泡利矩阵τi是厄米的，不是反厄的，连基底都不是，需要略加改造。
任何厄米矩阵乘虚单位i都是反厄的任何厄米矩阵乘虚单位i都是反厄的任何厄米矩阵乘虚单位i都是反厄的
乘−i2,基矢Ei=−i2τi乘-\frac{i}{2},基矢E_i=-\frac{i}{2}\tau_i乘−2i,基矢Ei=−2iτi
这样结构张量就简单了[E1,E2]=E1E2−E2E1=E3[E2,E3]=E2E3−E3E2=E1[E3,E1]=E3E1−E1E3=E2与so(3)的一样，所以∃代数同构ψsu(2)→so(3),ψ(Ei)=Ai但是SU(2)≠SO(3)这样结构张量就简单了\\ [E_1,E_2]=E_1E_2 -E_2E_1=E_3\\ [E_2,E_3]=E_2E_3 -E_3E_2=E_1\\ [E_3,E_1]=E_3E_1 -E_1E_3=E_2\\ 与so(3)的一样，所以\exists 代数同构 \psi \ su(2)\rightarrow so(3), \psi(E_i)=A_i \\ 但是 SU(2)\neq SO(3) 这样结构张量就简单了[E1,E2]=E1E2−E2E1=E3[E2,E3]=E2E3−E3E2=E1[E3,E1]=E3E1−E1E3=E2与so(3)的一样，所以∃代数同构ψ su(2)→so(3),ψ(Ei)=Ai但是SU(2)=SO(3)

π:SU(2)2to1→SO(3)\pi :SU(2)\overrightarrow{\ \ \ 2to1 \ \ \ } SO(3)π:SU(2) 2to1 SO(3)

import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from scipy.linalg import expm,logm
from numpy import pi,sin,cos,tan,arccos,matmul
from numpy.linalg import norm
# import matplotlib  as plt
import matplotlib.pyplot as plt
# from robotools import Euler_Rodrigues,SE3tose3np.set_printoptions(precision=3,suppress=True)
deg = pi/180def vec2sM(vec):# https://blog.csdn.net/ResumeProject/article/details/118913851return np.array([[0,-vec[2],vec[1]],[vec[2],0,-vec[0]],[-vec[1],vec[0],0]])def sM2vec(sM):return np.array([sM[2][1],sM[0][2],sM[1][0]])
x = np.array([1,0,0])
y = np.array([0,1,0])
z = np.array([0,0,1])
dotnum = 20
s = np.array([1,1,1])X = np.empty([dotnum,3])
Y = np.empty([dotnum,3])
Z = np.empty([dotnum,3])w=np.linspace(0,1,dotnum)
for i in range (dotnum):li=w[i]*sM = vec2sM(li)A = expm(M)X[i] = np.dot(A, x)Y[i] = np.dot(A, y)Z[i] = np.dot(A, z)#figure：新的画布
fig=plt.figure()
#axes：坐标轴
ax1=plt.axes(projection='3d')
ax1.scatter3D(0,0,0,cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(X[:,0],X[:,1],X[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(Y[:,0],Y[:,1],Y[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1],Z[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
plt.plot([0,0,0], s, label='x')

从李代数到李群的指数映射并不总是到上，即使该群是连通的（尽管对于紧致或幂零的连通群，它确实映射到李群）

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