统计学:离散型和连续型随机变量的概率分布
主要随机变量一览表
随机变量 | 概率分布 | 均值 | 方差 |
---|---|---|---|
一般离散型变量 | p(x)的表、公式或者图p(x)的表、公式或者图 | ∑xxp(x)\sum_{x}xp(x) | ∑x(x−μ)2p(x)\sum_{x}(x-\mu)^2p(x) |
二项分布 | p(x)=Cxnpxqn−x (x=0,1,2,3⋅⋅⋅,n)p(x)=C_{n}^{x} p^xq^{n-x} \space (x=0,1,2,3···,n) | npnp | npqnpq |
泊松分布 | p(x)=λxe−λx! (x=0,1,2,⋅⋅⋅)p(x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}\space (x=0,1,2,···) | λ\lambda | λ\lambda |
超几何分布 | p(x)=CxrCn−xN−rCnNp(x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}} | nrN\frac{nr}{N} | r(N−r)n(N−n)N2(N−1)\frac{r(N-r)n(N-n)}{N^2(N-1)} |
均匀分布 | f(x)=1b−a (a≤x≤b)f(x)=\frac{1}{b-a}\space (a\leq x\leq b) | a+b2\frac{a+b}{2} | b−a12√\frac{b-a}{\sqrt {12}} |
正态分布 | f(x)=1σ2π√e−(1/2)[(x−μ)σ]2f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-(1/2)[(x-\mu)\sigma]^2} | μ\mu | σ2\sigma^2 |
标准正太分布 | f(z)=12π√e−(1/2)z2f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(1/2)z^2} | 0 | 1 |
指数分布 | f(x)=1θe−x/θ(x>0)f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}(x>0) | μ=θ\mu=\theta | σ=θ\sigma=\theta |
1. 离散型和连续型随机变量的定义
离散型随机变量(discrete random variable):取值是可数的个值的随机变量, 比如投掷一枚骰子的朝上的点数,可能是1,2,3,4,5,6;比如南京大学四食堂吃饭的人数,可能是0,1,2···。
连续型随机变量(continuous random variable):取值是一个区间中的任意一点(也就是不可数)的随机变量,比如南京大学同学身高。
2. 离散型随机变量的概率分布
基本概念的公式表达
均值(期望值expected value):μ=E(x)=∑xp(x)\mu=E(x)=\sum xp(x)
方差(variance):σ=E[(x−μ)2]=∑(x−μ)2p(x)\sigma=E[(x-\mu)^2]=\sum (x-\mu)^2p(x)
标准差(standard deviation):σ=σ2−−√\sigma =\sqrt {\sigma^2}
其中,可以证明到E[(x−μ2)]=E(x)2−μ2E[(x-\mu^2)]=E(x)^2-\mu^2
2. 二项分布
如果进行n次不同的实验,每次试验完全相同并且只有两种可能的结果,这样的实验结果分布情况就是二项分布。最简单的比如投掷一枚硬币,不管进行多少次实验,实验结果都只有正面朝上或者反面朝上,这就是一个简单的二项分布。
二项概率分布:p(x)=Cxnpxqn−x (x=0,1,2,3⋅⋅⋅,n)p(x)=C_{n}^{x} p^xq^{n-x} \space (x=0,1,2,3···,n)
其中:n代表n次实验,x表示实验结果为T的次数,q是实验结果为T的概率,q=1-p,表示实验结果为F的概率。
二项分布的
均值:μ=np\mu=np
方差:σ2=npq\sigma^2=npq
标准差:σ=npq−−−√\sigma=\sqrt {npq}
二项分布对于结果只有两种情况的随机事件有非常好的描述,属于日常生活中最常见、最简单的随机变量概率分布,在知道某种实验结果概率的情况下,能够很好推断实验次数后发生其中某一结果次数的概率。
3. 泊松分布
泊松分布的概率分布,均值和方差:p(x)=λxe−λx! (x=0,1,2,⋅⋅⋅)p(x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}\space (x=0,1,2,···)
μ=λ\mu=\lambda
σ2=λ\sigma^2=\lambda
4. 超几何分布
超结合分布和二项分布比较相似,二项分布每次实验完全一样,而超几何分布前一次的实验结果会影响后面的实验结果。简单地讲,二项分布抽取之后放回元素,而超几何分布是无放回的抽取。
超几何分布的概率分布,均值和方差:p(x)=CxrCn−xN−rCnNp(x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}
μ=nrN\mu=\frac{nr}{N}
σ2=r(N−r)n(N−n)N2(N−1)\sigma^2=\frac{r(N-r)n(N-n)}{N^2(N-1)}
3. 连续型随机变量的概率分布
概率密度函数(probability density function):
又称之为频率函数(frequency function),或者概率分布(probability distribution),用来表示连续型随机变量的概率分布情况,一般是一条光滑的曲线。
1. 正太分布(normal distribution)
正态分布是统计学中常见的一种分布,表现为两边对称,是一种钟型的概率分布(bell curve),正太分布有一下的特征:概率密度函数:
f(x)=1σ2π−−√e−(1/2)[(x−μ)σ]2f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-(1/2)[(x-\mu)\sigma]^2}
其中,μ\mu是正太随机变量的均值;
σ\sigma是标准差;
π\pi是圆周率,约等于3.1416···
e=2.71828⋅⋅⋅e=2.71828···
特别的,当μ=0且σ=1\mu=0且\sigma=1的正态分布,被称为标准正太分布(standard distribution),此时有:
f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(1/2)z^2}
标准正态分布有对应的标准正态分布表,通过该表可以找到对应值累积的概率。
正太分布转化为标准正态分布:
正太分布x,均值是μ,标准差是σ,z定义为z=(x−μ)/σx ,均值是\mu,标准差是\sigma,z定义为z=(x-\mu)/\sigma
正态分布来近似二项分布
当n足够大的时候,正态分布对于离散型二项分布能够很好地近似。
评价正态分布
如何来确定数据是否正态分布,主要有以下几种方法:
1. 图形感受法:建立直方图或者枝干图,看图像的形状是否类似正太曲线,既土墩形或者钟形,并且两端对称。
2. 计算区间x¯±s,x¯±2s,x¯±3s\bar x\pm s,\bar x\pm 2s,\bar x\pm 3s,看落在区间的百分比是否近似于68%,95%,100%。(切比雪夫法则和经验法则)
3. 求IQR和标准差s,计算IQR/s,如若是正态分布,则IQR/s≈1.3.求IQR和标准差s,计算IQR/s,如若是正态分布,则IQR/s\approx 1.3.
4. 建立正态概率图,如果近似正态分布,点会落在一条直线上。
2. 均匀分布
均匀概率分布(uniform probability distribution)是指连续随机变量所有可能出现值出现概率都相同。
均匀随机变量x概率分布特征:
概率密度函数:
f(x)=\frac{1}{b-a}\space (a\leq x\leq b)
均值: μ=a+b2\mu=\frac{a+b}{2}
标准差: σ=b−a12√\sigma=\frac{b-a}{\sqrt {12}}
3. 指数分布
指数概率分布(exponential probability distribution),具有如下特征:
概率密度函数:
f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}(x>0)
均值: μ=θ\mu=\theta
标准差: σ=θ\sigma=\theta
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