连续型随机变量的概率分布

概率，大家都知道，就是一个事件发生的可能性。对于离散随机变量，很好描述他的概率分布。比如一个抽奖系统抽到奖品概率就是：

一等奖	二等奖	三等奖	四等奖
1/40	1/10	3/8	1/2

可是，对于连续随机变量，描述概率的分布就不那么容易了。比如一个射击手，他打靶时打在任意一个点的概率都趋近于0（你几乎不可能精确的打在一个特殊点上）。但是打靶打在一个区间中的概率是可以求出的。

所以，在这种情况下，使用古典概型就难以描述这样的概率分布了。所以，我们引入了一个描述这种连续随机变量的概率分布的函数：概率分布函数。

这个名字是不是简单霸气？

概率分布函数用F(x)F(x)F(x)表示，它是概率累加的形式。所以他又叫累加概率函数。也就是F(xi)=P(x≤xi)F(x_i)=P(x\leq x_i)F(xi)=P(x≤xi)。它的功能有点类似前缀和。

还是以打靶举例。这次让射击手打一个"直线"靶，那么F(a)F(a)F(a)的含义就是打中aaa之前的区域。

概率分布函数的性质：

∀a<b,F(a)≤F(b)\forall a<b,F(a)\leq F(b)∀a<b,F(a)≤F(b)
∀x∈R,0≤F(x)≤1\forall x\in\mathbb R,0\leq F(x)\leq1∀x∈R,0≤F(x)≤1

引入了概率分布函数，就可以解释一些连续型随机变量的概率问题了。

射击手打中区间(a,b](a,b](a,b]的概率就是F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)

不难发现，P(x=xi)=dF(xi)P(x=x_i)=\mathrm dF(x_i)P(x=xi)=dF(xi)，这也是为什么连续函数任意一点的概率是000，因为P(x=xi)P(x=x_i)P(x=xi)是一个无穷小量。

同时，这也说明了，若ΔF(x)\Delta F(x)ΔF(x)大，则xxx附近的概率也就大；若ΔF(x)\Delta F(x)ΔF(x)小，则xxx附近的概率也就小。

当xxx趋近−∞-\infty−∞时，F(x)F(x)F(x)趋近000；当xxx趋近+∞+\infty+∞时，F(x)F(x)F(x)趋近111

上面这些性质都可以用概率的性质推出来。

除了用这种方法，我们还有另一种更直观的表示概率分布的函数：概率密度函数

概率密度函数反映了函数在某一点附近的概率。他要比概率分布函数更加直观。他就像离散变量中的概率函数一样。

为了表示某一点xxx的概率，我们可以先考虑这个点附近的区间(x,x+h](x,x+h](x,x+h]，事件{x<X≤x+h}\{x<X\leq x+h\}{x<X≤x+h}的概率就是F(x+h)−F(x)F(x+h)-F(x)F(x+h)−F(x)。

可以说，F(x+h)−F(x)F(x+h)-F(x)F(x+h)−F(x)反映了(x,x+h](x,x+h](x,x+h]区间的概率"密集程度"。

那么，当hhh趋近000的时候，这个概率"密集程度"就接近F′(x)F'(x)F′(x)，所以可以用函数F′(x)F'(x)F′(x)来反映xxx点的概率。这就是概率密度函数。

如果上面这段话你没有看懂的话，那么，这个解释应该令你满意：

P(a<x≤b)=F(b)−F(a)=∫abf(x)dxP(a<x\leq b)=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)\mathrm dxP(a<x≤b)=F(b)−F(a)=∫abf(x)dx

也就是，两点之间的概率被描述成定积分，即曲线下方面积的形式。如图：

这就更加直观了。概率分布函数是一个一直递增的函数，但是概率密度函数就会清楚的表示每个区间的概率大小。我一眼看过去就可以看出哪里概率大，哪里概率小。

所以，通常在描述连续函数的概率分布时，使用的是概率密度函数，但是概率分布函数也是必不可少的。

概率密度函数性质：

f(x)≥0f(x)\geq0f(x)≥0

∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm dx=1∫−∞+∞f(x)dx=1

当概率在[a,b)[a,b)[a,b)均匀分布时，概率分布函数在[a,b)[a,b)[a,b)上就是一条直线，概率密度函数在[a,b)[a,b)[a,b)上就是常数函数。

参考：链接

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