《算法图解》系列笔记（七）—

狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）

广度优先搜索来查找两点之间的最短路径，那时“最短路径”的意思是段数最少。在狄克斯特拉算法中，你给每段都分配了一个数字或权重，因此狄克斯特拉算法找出的是总权重最小的路径。

术语

该算法用于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（weight）
带权重的图为加权图（weighted graph）,不带权重的图为非加权图（unweighted graph）

计算非加权图中的最短路径，可使用广度优先搜索。计算加权图中的最短路径，可使用狄克斯特拉算法。
可能有环的存在：绕环的路径不可能是最短的路径，在无向图中，每条边都是一个环。狄克斯特拉算法只适合于有向无环图（directed acyclic graph,DAG）

负权边

不能将狄克斯特拉算法用于包含负权边的图。在包含负权边的图中，要找出最短路径，可使用另一种算法——贝尔曼-福德算法（Bellman-Fordalgorithm）。

实现

代码如下：（书中有详细的每一步过程描述）

graph = {}　　　　　　　　　　　　#整个图的散列表
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2
graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1
graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5
graph["fin"] = {}infinity = float("inf")　　　　　　#散列表是开销
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinityparents = {}　　　　　　　　　　　　#散列表是父子节点
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = Noneprocessed = []def find_lowest_cost_node(costs):　　　　　　　　　lowest_cost = float("inf")　　　　　　　　lowest_cost_node = Nonefor node in costs:cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed:lowest_cost = costlowest_cost_node = nodereturn lowest_cost_nodenode = find_lowest_cost_node(costs)　　　　　　#在未处理的节点中找出开销最小的节点
while node is not None:　　　　　　　　　　　　　#在所有节点都被处理后结束cost = costs[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.keys():　　　　　　　　　　#遍历当前节点的所有邻居new_cost = cost + neighbors[n]if costs[n] > new_cost:　　　　　　　　　#如果经当前节点前往该邻居更近costs[n] = new_cost　　　　　　　　　　#更新该邻居的开销parents[n] = node　　　　　　　　　　#同时将该邻居的父节点设置为当前节点processed.append(node)　　　　　　　　　　　　#将当前节点标记为处理过node = find_lowest_cost_node(costs)　　　　#找出接下来要处理的节点，并循环
print(costs)
print(parents)

小结

1. 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
2. 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
3. 仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
4. 如果图中包含负权边，请使用贝尔曼-福德算法。

加深理解的例子

就上面的例子来说，是根据A到图中其余点的最短路径长度进行排序，路径越短越先被找到，路径越长越靠后才能被找到，要找A到F的最短路径，我们依次找到了
A –> C 的最短路径 3
A –> C –> B 的最短路径 5
A –> C –> D 的最短路径 6
A –> C –> E 的最短路径 7
A –> C –> D –> F 的最短路径 9
Dijkstra 算法运行的附加效果是得到了另一个信息，A到C的路径最短，其次是A到B, A到D, A到E, A到F

为什么Dijkstra 算法不适用于带负权的图？
就上个例子来说，当把一个点选入集合S时，就意味着已经找到了从A到这个点的最短路径，比如第二步，把C点选入集合S，这时已经找到A到C的最短路径了，但是如果图中存在负权边，就不能再这样说了。举个例子，假设有一个点Z，Z只与A和C有连接，从A到Z的权为50，从Z到C的权为-49，现在A到C的最短路径显然是A –> Z –> C

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