一阶、二阶和三阶随机占优

文章目录

一阶随机占优 (First-degree Stochastic Dominance, FSD )
二阶随机占优 (Second-degree Stochastic Dominance, SSD)
三阶随机占优 (Third-degree Stochastic Dominance, TSD)
三者关系
参考文献

一阶随机占优 (First-degree Stochastic Dominance, FSD )

FSDFSDFSD效用函数**（非递减效用函数）**
- 效用函数 U(x)U(x)U(x) 满足: U′(x)≥0U'(x) \geq 0U′(x)≥0 。
FSDFSDFSD风险偏好

使用 FSDF S DFSD 的投资者并没有特别的风险偏好
- 有可能是风险厌恶者
- 有可能是风险爱好者
- 或者在某一阶段表现为风险厌恶, 在另一阶段表现为风险爱好。
一阶随机占优**【累积概率分布】**

在比较两个投资方案 FFF 和 GGG 时

假设投资 FFF 的收益的累计概率分布为 F(R)F(R)F(R), 投资 GGG 的收益的累计概率分布为 G(R)G(R)G(R)

如果在所有的收益水平 RRR 下, 有:
F(R)≤G(R)F(R) \leq G(R) F(R)≤G(R)
且至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 FFF 一阶随机占优于方案 GGG, 记为 F>FSDGF>{ }_{F S D} GF>FSDG 。【小的累积概率分布一阶随机占优大的累积概率分布】
由于 FSDF S DFSD 仅对投资者的效用函数做了一阶假设 U(x)≥0U(x) \geq 0U(x)≥0, 而对投资者效用函数的二阶形式没有特别要求, 因此 FSDFSDFSD适用于具有任何形式风险倾向的投资者,
在理论上优于其他的评价方法。然而正是由于 FSD适用面广, 使得该标准的筞选能力较低, 限制了它的实用性。

二阶随机占优 (Second-degree Stochastic Dominance, SSD)

SSDS S DSSD 效用函数**（边际效用递减效用函数）**
- U′(x)≥0U^{\prime}(x) \geq 0U′(x)≥0,U′′(x)≤0U''(x) \leq 0U′′(x)≤0 。
SSDS S DSSD风险偏好

使用 SSDS S DSSD 的投资者是风险厌恶型的
- 不在意风险厌恶程度可以递增还是递减
二阶随机占优**【累积概率分布的积分】**

在比䢂两个投资方案 FFF 和 GGG 时

假设投资 FFF 的收益的累计概率分布为 F(R)F(R)F(R), 投资 GGG 的收益的累计概率分布为 G(R)G(R)G(R)

如果在所有的收益水平 RRR 下, 有:

∫−∞RF(t)dt≤∫−∞RG(t)dt或 ∫−∞R[G(t)−F(t)]dt≥0\int_{-\infty}^{R} F(t) d t \leq \int_{-\infty}^{R} G(t) d t \text { 或 } \int_{-\infty}^{R}[G(t)-F(t)] d t \geq 0 ∫−∞RF(t)dt≤∫−∞RG(t)dt 或 ∫−∞R[G(t)−F(t)]dt≥0

且至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 FFF 二阶随机占优于方案 GGG, 记为 F>SSDGF>_{S S D} GF>SSDG 。

三阶随机占优 (Third-degree Stochastic Dominance, TSD)

TSDT S DTSD效用函数 U(x)U(x)U(x) （绝对风险厌恶递减）
- 效用函数 U(x)U(x)U(x) 满足 U(x)≥0U(x) \geq 0U(x)≥0,U′′(x)≤0,U′′′(x)>0U^{\prime \prime}(x) \leq 0, U^{\prime \prime \prime}(x)>0U′′(x)≤0,U′′′(x)>0 。
TSDTSDTSD风险偏好

使用 TSDT S DTSD 的投资者是风险厌恶的
- 风险厌恶程度是随着财富的增加而递减的。
三阶随机占优【累积概率分布二重积分】

在比䢂两个投资方案 FFF 和 GGG 时

假设投资 FFF 的收益的累计概率分布为 F(R)F(R)F(R), 投资 GGG 的收益的累计概率分布为 G(R)G(R)G(R)

如果在所有的收益水平 RRR 下, 有:
∫−∞R∫−∞RF(t)dtdz≤∫−∞R∫−∞RG(t)dtdz\int_{-\infty}^{R} \int_{-\infty}^{R} F(t) d t d z \leq \int_{-\infty}^{R} \int_{-\infty}^{R} G(t) d t d z ∫−∞R∫−∞RF(t)dtdz≤∫−∞R∫−∞RG(t)dtdz
或者
∫−∞R∫−∞R[G(t)−F(t)]dtdz≥0\int_{-\infty}^{R} \int_{-\infty}^{R}[G(t)-F(t)] d t d z \geq 0 ∫−∞R∫−∞R[G(t)−F(t)]dtdz≥0
且至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 FFF 三阶随机占优于方案 GGG, 记为 F>TSDGF>{ }_{T S D} GF>TSDG 。

三者关系

由于这三条随机占优标准在投资者风险偏好假设上的递进关系： TSDT S DTSD 包含了$ SSD$, SSDS S DSSD 包含了 FSDF S DFSD

TSDT S DTSD 有效, 则 SSDS S DSSD 必然有效;

SSDS S DSSD 有效, 则 FSDF S DFSD 必然有效,

投资者可以根据自身的风险偏好类型, 决定采用哪一个标准。

参考文献

[1]谭妮. 基于风险偏好的投资组合模型研究[D].湖南大学,2010.

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