【NOIP2013提高组day1】货车运输

额呵呵，找到一个照片开始乱搞ing。（嘻嘻

car-driver

前奏
题目大意
题目解法
- 最小生成树
- LCA

前奏

让我们进入正题，这道题目所涉知识面是很广的。
先来列举一下这道题的知识点:最小生成树（最好是克鲁斯卡尔，也就是说我们还要用到并查集）+LCA（最好是倍增的）+（链式前向星）
_{*其实我们这道题要应用的是最大生成树，但是其实和最小生成树差异不大，所以在后文我还是叫最小生成树。}

所以对上面知识有问题的同学，建议去看一下以下文章：

最小生成树详细解析

链式前向星

倍增求LCA

LCA连我自己都还没找到比较好的博客，所以，有时间自己复习梳理的时候写一篇。

题目大意

给出你一幅图和一些边，每条边有一些权值，两两城市间会有不止一条边
问你从x城市到y城市的所有可行的路径方案中，最小边的最大值是多少
若两城市不连通则输出-1

对于 30%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q < 1,000；
对于 60%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q < 1,000；
对于 100%的数据，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q < 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。

题目解法

因为数据比较大，所以我们这题不讲部分分。
因为直接暴力不是0分就是玄学水到20。
两个步骤，最小生成树+LCA（最近公共祖先）

最小生成树

相对于prim,克鲁斯卡尔会快一点。所以我们选择性能优异的后者，而后者的思想主要是这样的：
先排序，找到从小到大的权值的边的序列。（因为是最大生成树，所以这里是从大到小。
而我们要一个个去处理这些边，如果这些边的起始点和终点并不连接的话，我们就要保留这条边，所以在这里我们要用到并查集。我们可以将进行合并操作，使得这棵树的边数最好缩小到节点数-1,而联通所有的节点。

if(find(a[i].u)!=find(a[i].v))fa[find(a[i].u)]=find(a[i].v)

并且，我们在这里可以用到链式前向星存边了。可以比矩阵快一点。

add(a[i].u,a[i].v,a[i].dis)

LCA

我们知道，这样建出来的树一定是可以求出符合题意答案的树，所以我们直接考虑找答案。
为了让我们的答案不让别的因素影响。
举个例子，如果多走了一条边，这条边的边权比我们的答案要大，其实对我们的答案没有影响，因为我们要选的答案是路径上权值最小的一条边。
如果这条边的权值比我们的答案要小，其实对我们的答案还有不利影响。

这里讲倍增的方法；
先预处理出每个节点的2的幂次祖先，然后在 O ( l o g ( n ) ) O(log(n)) O(log(n))的时间复杂度上求出路径的极值。然后，我们就要用到一个很重要的式子，它的用处是转移F数组的值:
f [ x ] [ i ] = f [ f [ x ] [ i − 1 ] ] [ i − 1 ] ; f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1]; f[x][i]=f[f[x][i−1]][i−1];
然后，为了符合题意，我们就要求LCA中的最小值。
在倍增的方法中，我们需要选择一种“跳”的方法，将两个数的点跳到同一层，这样可以使得我们求的LCA就是他们上一层的节点。
然后，我们还需要用到一个数组来记录一下就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,x,y;
int fa[10005];
int next[20005],first[20005],go[20005],dis[20005],tot;
int dep[10005],f[10005][30],fm[10005][30];
struct node{int u,v,dis;
}a[50005];
int read()
{int f=1,x=0;char s=getchar();while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-') f=-1;s=getchar();}while(s>='0'&&s<='9') x=x*10+s-'0',s=getchar();return x*f;
}
void qsort(int l,int r)
{int i=l,j=r,mid=a[(l+r)/2].dis;while(i<=j){while(a[i].dis>mid) i++;while(a[j].dis<mid) j--;if(i<=j) swap(a[i],a[j]),i++,j--;}if(l<j) qsort(l,j);if(i<r) qsort(i,r);
}
void add(int u,int v,int len)//链式前向星
{next[++tot]=first[u];first[u]=tot;go[tot]=v,dis[tot]=len;next[++tot]=first[v];first[v]=tot;go[tot]=u,dis[tot]=len;
}
int find(int x)
{if(fa[x]==x) return x;return fa[x]=find(fa[x]);
}
void ready(int o,int from)
{dep[o]=dep[from]+1;for(int i=1;i<=20;i++){f[o][i]=f[f[o][i-1]][i-1];fm[o][i]=min(fm[f[o][i-1]][i-1],fm[o][i-1]);}for(int i=first[o];i;i=next[i]){int v=go[i];if(v==from)continue;fm[v][0]=dis[i];f[v][0]=o;ready(v,o);}
}
int lca(int x,int y)
{int minx=0x7fffffff;if(dep[y]>dep[x]) swap(x,y);for(int i=20;i>=0;i--){if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){minx=min(minx,fm[x][i]);x=f[x][i];}if(x==y) return minx; }for(int i=20;i>=0;i--){if(f[x][i]!=f[y][i]){minx=min(minx,min(fm[x][i],fm[y][i]));x=f[x][i];y=f[y][i];}}return min(minx,min(fm[x][0],fm[y][0]));
}
int main()
{n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;for(int i=1;i<=m;++i) a[i].u=read(),a[i].v=read(),a[i].dis=read();qsort(1,m);for(int i=1;i<=m;++i)if(find(a[i].u)!=find(a[i].v))fa[find(a[i].u)]=find(a[i].v),add(a[i].u,a[i].v,a[i].dis);ready(1,0);q=read();for(int i=1;i<=q;++i){x=read(),y=read();if(find(x)!=find(y)) printf("-1\n"); else printf("%d\n",lca(x,y));}return 0;
}