洛谷千题详解 | P1014 [NOIP1999 普及组] Cantor 表【C++、Java语言】
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题目描述
输入格式
输出格式
输入输出样例
解析：
C++源码：
C++源码2：
C++源码3：
Java源码：
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
题目描述
现代数学的著名证明之一是 Georg Cantor 证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的：
1/1 , 1/2 , 1/3 , 1/4, 1/5, …
2/1, 2/2 , 2/3, 2/4, …
3/1 , 3/2, 3/3, …
4/1, 4/2, …
5/1, …
…
我们以 Z 字形给上表的每一项编号。第一项是 1/1，然后是 1/2，2/1，3/1，2/2，…
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
输入格式
整数N（1≤N≤107）。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
输出格式
表中的第 N 项。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
输入输出样例
输入 #1
7
输出 #1
1/4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
解析：
update:显然这样的程序并不是最短的，评论已经有很多的dalaodalao指出了，而且时间复杂度也并不优秀，但是当时就会有一种莫名的自信 至于怎么压行，评论区也说得比较明白了，所以评论不用再提供压行思路了
update: 首先我们观察到第ii行，第jj列的数就是i/ji/j,这是第一个要发现的。
因为题目中要求是以Z字型编号
我们看题目中的表是：
1/1,1/2,1/3 ……
2/1,2/2,2/3 ……
Z字型编号以后（把头向左偏45度）：
第一行：1/1 (1号)
第二行：1/2 (2号) 2/1(3号)
第三行：1/3 (6号) 2/2(5号) 3/1(4号)
\uparrow↑ 观察法易得每一行比上一行多1
代码里那个while循环，就是为了通过循环枚举，判断它在编号之后的第几行，第几个位置。
（这个优化有没有都可以AC本题，但是评论指出我的时间复杂度不够优秀，因此提一提这个优化，不愿意看的可以直接略过看下一个分割线以后的内容。）
但其实可以直接出结论优化时间复杂度从O(n)优化到O(1)，这样就要考虑到等差数列求和
公式：S=2n(an+a1)
所以，很显然Z字型排序之后，第k行的数编号n满足：
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C++源码：
#include<cstdio>
int main()
{int n;scanf("%d",&n);int t=1,ans=0;//t是表示下一次跳到下一次的距离，ans是表示第几层while(1){if(n>t){n-=t;ans++;t++;}//printf("%d\n",ans);else if(n==t&&ans%2==0){printf("1/%d",ans+1);break;}//如果在n==t，并且为偶数层，就在第一行 第ans+1个 else if(n==t&&ans%2!=0){printf("%d/1",ans+1);break;}//如果在n==t，并且为奇数层，就在第ans+1行 第一个else if(n<t&&ans%2!=0){printf("%d/%d",ans+n-t+1,t-n+1);break;}//如果在n<t，并且为奇数层，t-n+1表示该层最后一个往后走n-1步，ans+n-t+1示该层最后一个往上走t-1步 else if(n<t&&ans%2==0){printf("%d/%d",t-n+1,ans+n-t+1);break;}// 如果在n<t，并且为偶数层，t-n+1表示该层最后一个往上走n-1步，ans+n-t+1示该层最后一个往后走t-1步 }return 0;
}-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C++源码2：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int i = 0, n, s = 0, x, y;//s：按整条斜线走过的格子的末尾编号 cin >> n;while(s < n)//s >= n时，说明编号为n的格子在刚才加的第i斜线之中 {i++;s += i;}s -= i;//此时确定n在第i条斜线上 if(i % 2 == 1)//从i/1出发向右上遍历，找编号为n的格子 {x = i, y = 1, s++;while(s < n)//s == n时，x，y的值即为编号为n的格子的坐标 x--, y++, s++;}else//从1/i出发向左下遍历，找编号为n的格子 {x = 1, y = i, s++;while(s < n)//s == n时，x，y的值即为编号为n的格子的坐标x++, y--, s++;}cout << x << '/' << y;return 0;
}
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C++源码3：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int i = 0, n, s = 0, x, y, l;cin >> n;while(s < n)//看第n格子是否在第i斜线上 {i++;s += i;}s -= i;l = n-s;//在第i斜线数几个 if(i % 2 == 1)//从i/1出发 {x = i+1-l;//i-x+1=ly = l; }else//从1/i出发 {x = l;//x-1+1 = ly = i+1-l;//i-y+1=l}cout << x << '/' << y;return 0;
}
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Java源码：
public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int position = scanner.nextInt();int sum, end = 1;while (true) {sum = (1 + end) * end / 2;if (position <= sum) break;++ end;}sum -= position;if (end%2 == 0) { // 偶数// 大数在前System.out.println((end-sum) + "/" + (1+sum));} else { // 奇数// 大数在后System.out.println((1+sum) + "/" + (end-sum));}}-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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