信号与系统实验三傅里叶变换、系统的频域分析

：信号与系统第三次实验记录

一、实验目的

1、学会用 MATLAB 实现连续时间信号傅里叶变换

2、学会用 MATLAB 分析 LTI 系统的频域特性

3、学会用 MATLAB 分析 LTI 系统的输出响应

二、实验原理

1．傅里叶变换的 MATLAB 求解

MTLAB 的 symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数

fourier()及 ifourier()两者的调用格式如下。

Fourier 变换的调用格式

F=fourier(f)：它是符号函数 f 的 fourier 变换默认返回是关于 w 的函数。

F=fourier(f，v):它返回函数 F 是关于符号对象 v 的函数，而不是默认的 w，即

$F(v)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-jvx}dx$

Fourier 逆变换的调用格式

f=ifourier(F):它是符号函数 F 的 fourier 逆变换，默认的独立变量为 w，默认返回是关于 x 的函数。

f=ifourier(f,u):它的返回函数 f 是 u 的函数，而不是默认的 x.

注意：在调用函数 fourier()及 ifourier()之前，要用 syms 命令对所用到的变量（如 t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。

例 4-1 求 $f(t)e^{-2\left | t \right |}$ 的傅立叶变换

解: 可用 MATLAB 解决上述问题：

syms t

Fw=fourier(exp(-2*abs(t)))

例 4-2 求 $F(j\omega )=\frac{1}{1+\omega ^{2}}$ 的逆变换

解：可用 MATLAB 解决上述问题

syms t w

ft=ifourier(1/(1+w^2),t)

2．连续时间信号的频谱图

例 4-3 求调制信号 $f(t)=AG_{\tau }cos\omega _{0}t$ 的频谱，式中

$A=4,\omega _{0}=12\pi ,\tau =\frac{1}{2},G_{\tau}(t)=u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})$

解：MATLAB 程序如下所示

%如果报错的话把sym 改为 str2sym

ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))');Fw=simplify(fourier(ft))subplot(121)ezplot(ft,[-0.5 0.5]),grid onsubplot(122)ezplot(abs(Fw),[-24*pi 24*pi]),grid

用 MATLAB 符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示

出错，这时用 MATLAB 的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是

$F(j\omega )=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt=\lim_{\tau \rightarrow 0}\sum_{n=-\infty }^{\infty }f(n\tau )e^{-j\omega nt}\tau$

当 $\tau$ 足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，

信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n 的取值就是有限的，设为 N，有 $\sum_{n=0}^{N-1}f(n\tau )e^{-j\omega _{k}n\tau }\tau ,0\leqslant k\leqslant N,\omega _{k}=\frac{2\pi }{N\tau }k$ ,是频率取样点

时间信号取样间隔 $\tau$ 应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率 W0 为信号的带宽。

例 4-4 用数值计算法求信号 $f(t)=u(t+1)-u(t-1)$ 的傅里叶变换

解，信号频谱是 $F(j\omega )=2Sa(\omega )$ ，第一个过零点是 $\pi$ ，一般将此频率视为信号的带宽，若

将精度提高到该值的 50 倍，既 $\omega _{0}=50\pi$ ，据此确定取样间隔， $\tau <\frac{1}{2F_{0}}=0.02$

R=0.02;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);W1=2*pi*5;N=500;k=0:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t'*W)*R;F=real(F);W=[-fliplr(W),W(2:501)];F=[fliplr(F),F(2:501)];subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');subplot(2,1,2);plot(W,F);xlabel('w');ylabel('F(w)');title('f(t)的付氏变换F(w)')；

3. 用 MATLAB 分析 LTI 系统的频率特性
当系统的频率响应 H（jw）是 jw 的有理多项式时，有

$H(j\omega )=\frac{B(w)}{A(w)}=\frac{b_{M}(j\omega )^{M}+b_{M-1}(j\omega )^{M-1}+L+b_{1}(j\omega )+b_{0}}{a_{N}(j\omega )^{N}+a_{N-1}(j\omega )^{N-1}+L+a_{1}(j\omega )+a_{0}}$

MATLAB 信号处理工具箱提供的 freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下

H=freqs(b,a,w)

其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量,w为形如 w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。

例如，运行如下命令，计算 0~2pi 频率范围内以间隔 0.5 取样的系统频率响应的样值

a=[1 2 1];

b=[0 1];

h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)

例 4-5 三阶归一化的 butterworth 低通滤波器的频率响应为

$H(j\omega )=\frac{1}{(j\omega)^{3}+2(j\omega)^{2}+2(j\omega)+1}$

试画出该系统的幅度响应 $|H(j\omega )|$ 和相位响应 $\varphi (\omega )$

解其 MATLAB 程序及响应的波形如下

w=0:0.025:5;b=[1];a=[1,2,2,1];H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H));grid;xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('H(jw)的幅频特性');subplot(2,1,2);plot(w,angle (H));grid;xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('\phi(\omega)');title('H(jw)的相频特性');

4.用 MATLAB 分析 LTI 系统的输出响应

例 4-6 已知一 RC 电路如图所示系统的输入电压为 $f(t)$ ，输出信号为电阻两端的电压 $y(t)$

当 $RC=0.04,f(t)=cos5t+cos100t,-\infty <t<+\infty$ ，试求该系统的响应 y(t)

解由图可知，该电路为一个微分电路，其频率响应为

$H(j\omega )=\frac{R}{R+1/j\omega C}=\frac{j\omega }{j\omega +1/RC}$

由此可求出余弦信号 $cos\omega _{0}t$ 通过LTI系统的响应为

$y(t)=|H(j\omega _{0})|cos(\omega _{0}t+\varphi (\omega _{0}))$

计算该系统响应的 MATLAB 程序及响应波形如下

RC=0.04;t=linspace(-2,2,1024);w1=5;w2=100;H1=j*w1/(j*w1+1/RC);H2=j*w2/(j*w2+1/RC);f=cos(5*t)+cos(100*t);y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1))+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2));subplot(2,1,1);plot(t,f);ylabel('f(t)');xlabel('Time(s)');subplot(2,1,2);plot(t,y);ylabel('y(t)');

三、上机实验内容

1.验证实验原理中所述的相关程序；

2.试用 MATLAB 求单边指数数信号 $f(t)=e^{-at}u(t)$ 的傅立叶变换，并画出其波形；

%上机实验-1 试用 MATLAB 求单边指数数信号f=exp(-at)*u(t)的傅立叶变换，并画出其波形
syms t;
f=heaviside(t);
ft=exp(-1*t)*f;
Fw=fourier(ft)
ezplot(real(Fw));
grid on;

3.设 $H(j\omega )=\frac{1}{0.08(j\omega )^{2}+0.4j\omega +1}$ ，试用MATLAB 画出该系统的幅频特性 $|H(j\omega )|$ 和相频特性 $\varphi (\omega )$ ，并分析系统具有什么滤波特性。

法一


clear all
R=0.02;t=-2:R:2;
f=exp(-1*t).*heaviside(t);
W1=2*pi*5;
N=500;k=0:N;
W=k*W1/N;
F=f*exp(-1i*t'*W)*R;
F=real(F);
W=[-fliplr(W),W(2:501)];
F=[fliplr(F),F(2:501)];
subplot(2,1,1);plot(t,f);
xlabel('t');ylabel('f(t)');
title('f(t)=exp(-1*t)*u(t)');
subplot(2,1,2);
plot(W,F);
xlabel('w');ylabel('F(w)'); title('f(t)的付氏变换 F(w)');
syms a t
Fx=fourier(exp(-a*t)*heaviside(t))

法二

%上机实验-2 试用 MATLAB 画出该系统的幅频特性和相频特性,并分析系统具有什么滤波特性。w=0:0.025:5;
b=[1];a=[0.08,0.4,1];
H=freqs(b,a,w);
subplot(2,1,1);
plot(w,abs(H));grid;
xlabel('\omega(rad/s)');
ylabel('|H(j\omega)|');
title('H(jw)的幅频特性');
subplot(2,1,2);
plot(w,angle (H));grid;
xlabel('\omega(rad/s)');
ylabel('\phi(\omega)');
title('H(jw)的相频特性');

分析：该系统为宽带5Hz的低通滤波器

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