【分治法】线性时间选择

线性时间选择问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素，（这里给定的线性集是无序的）。

1、随机划分线性选择

线性时间选择随机划分法可以模仿随机化快速排序算法设计。基本思想是对输入数组进行递归划分，与快速排序不同的是，它只对划分出的子数组之一进行递归处理。

程序清单如下：

[cpp] view plaincopy

//2d9-1 随机划分线性时间选择
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
int a[] = {5,7,3,4,8,6,9,1,2};
template <class Type>
void Swap(Type &x,Type &y);
inline int Random(int x, int y);
template <class Type>
int Partition(Type a[],int p,int r);
template<class Type>
int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r);
template <class Type>
Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k);
int main()
{
for(int i=0; i<9; i++)
{
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
cout<<RandomizedSelect(a,0,8,3)<<endl;
}
template <class Type>
void Swap(Type &x,Type &y)
{
Type temp = x;
x = y;
y = temp;
}
inline int Random(int x, int y)
{
srand((unsigned)time(0));
int ran_num = rand() % (y - x) + x;
return ran_num;
}
template <class Type>
int Partition(Type a[],int p,int r)
{
int i = p,j = r + 1;
Type x = a[p];
while(true)
{
while(a[++i]<x && i<r);
while(a[--j]>x);
if(i>=j)
{
break;
}
Swap(a[i],a[j]);
}
a[p] = a[j];
a[j] = x;
return j;
}
template<class Type>
int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r)
{
int i = Random(p,r);
Swap(a[i],a[p]);
return Partition(a,p,r);
}
template <class Type>
Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k)
{
if(p == r)
{
return a[p];
}
int i = RandomizedPartition(a,p,r);
int j = i - p + 1;
if(k <= j)
{
return RandomizedSelect(a,p,i,k);
}
else
{
//由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素
//因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。
return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);
}
}

程序解释：利用随机函数产生划分基准，将数组a[p:r]划分成两个子数组a[p:i]和a[i+1:r]，使a[p:i]中的每个元素都不大于a[i+1:r]中的每个元素。接着"j=i-p+1"计算a[p:i]中元素个数j.如果k<=j，则a[p:r]中第k小元素在子数组a[p:i]中，如果k>j，则第k小元素在子数组a[i+1:r]中。注意：由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素，因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。

在最坏的情况下，例如：总是找到最小元素时，总是在最大元素处划分，这是时间复杂度为O(n^2)。但平均时间复杂度与n呈线性关系，为O(n)(数学证明过程略过,可参考王云鹏论文《线性时间选择算法时间复杂度深入研究》)。

2、利用中位数线性时间选择

中位数：是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据。

算法思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1),那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。例如，当ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递推式T(n)<=T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)。

实现步骤：

(1)将所有的数n个以每5个划分为一组共组，将不足5个的那组忽略，然后用任意一种排序算法，因为只对5个数进行排序，所以任取一种排序法就可以了。将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数，得到个中位数。

(2)取这个中位数的中位数，如果是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个作为划分基准。

(3)将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。在这种情况下找出的基准x至少比个元素大。因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，有个小于基准，中位数处于，即个中位数中又有个小于基准x。因此至少有个元素小于基准x。同理基准x也至少比个元素小。而当n≥75时≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。

程序清单如下：

[cpp] view plaincopy

//2d9-2 中位数线性时间选择
#include "stdafx.h"
#include <ctime>
#include <iostream>
using namespace std;
template <class Type>
void Swap(Type &x,Type &y);
inline int Random(int x, int y);
template <class Type>
void BubbleSort(Type a[],int p,int r);
template <class Type>
int Partition(Type a[],int p,int r,Type x);
template <class Type>
Type Select(Type a[],int p,int r,int k);
int main()
{
//初始化数组
int a[100];
//必须放在循环体外面
srand((unsigned)time(0));
for(int i=0; i<100; i++)
{
a[i] = Random(0,500);
cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
cout<<"第83小元素是"<<Select(a,0,99,83)<<endl;
//重新排序，对比结果
BubbleSort(a,0,99);
for(int i=0; i<100; i++)
{
cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
template <class Type>
void Swap(Type &x,Type &y)
{
Type temp = x;
x = y;
y = temp;
}
inline int Random(int x, int y)
{
int ran_num = rand() % (y - x) + x;
return ran_num;
}
//冒泡排序
template <class Type>
void BubbleSort(Type a[],int p,int r)
{
//记录一次遍历中是否有元素的交换
bool exchange;
for(int i=p; i<=r-1;i++)
{
exchange = false ;
for(int j=i+1; j<=r; j++)
{
if(a[j]<a[j-1])
{
Swap(a[j],a[j-1]);
exchange = true;
}
}
//如果这次遍历没有元素的交换,那么排序结束
if(false == exchange)
{
break ;
}
}
}
template <class Type>
int Partition(Type a[],int p,int r,Type x)
{
int i = p-1,j = r + 1;
while(true)
{
while(a[++i]<x && i<r);
while(a[--j]>x);
if(i>=j)
{
break;
}
Swap(a[i],a[j]);
}
return j;
}
template <class Type>
Type Select(Type a[],int p,int r,int k)
{
if(r-p<75)
{
BubbleSort(a,p,r);
return a[p+k-1];
}
//(r-p-4)/5相当于n-5
for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++)
{
//将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与a[p+i]交换位置
//使所有中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数
BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4);
Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]);
}
//找中位数的中位数
Type x = Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);
int i = Partition(a,p,r,x);
int j = i-p+1;
if(k<=j)
{
return Select(a,p,i,k);
}
else
{
return Select(a,i+1,r,k-j);
}
}

运行结果如下：

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