UA OPTI512R 傅立叶光学导论19 菲涅尔衍射

Fresnel衍射的Small Angle Approximation方法
- Fresnel衍射的卷积表示
- Fresnel衍射的Fourier方法

惠更斯-菲涅尔原理给出了波的传播公式：
Uz(x,y)=∬−∞+∞P(x′,y′)U0(x′,y′)zjλrejkrrdx′dy′U_z(x,y) = \iint_{-\infty}^{+\infty} P(x',y')U_0(x',y') \frac{z}{j \lambda r}\frac{e^{j k r}}{r} dx'dy' Uz(x,y)=∬−∞+∞P(x′,y′)U0(x′,y′)jλrzrejkrdx′dy′

现在我们引入transmission function P(x′,y′)P(x',y')P(x′,y′)，它用来表示透光区域的形状，比如在传播过程中，我们在z=0z=0z=0处加盖上一块只有一个半径为aaa的透光小孔的遮光板（相当于考虑单孔衍射的设定），那么P(x′,y′)=1,x′2+y′2<aP(x',y')=1,x'^2+y'^2 < aP(x′,y′)=1,x′2+y′2<a，P(x′,y′)=0,x′2+y′2>aP(x',y')=0,x'^2+y'^2 >aP(x′,y′)=0,x′2+y′2>a。此时波的传播规律为
Uz(x,y)=∬−∞+∞P(x′,y′)U0(x′,y′)zjλrejkrrdx′dy′U_z(x,y) = \iint_{-\infty}^{+\infty} P(x',y')U_0(x',y') \frac{z}{j \lambda r}\frac{e^{j k r}}{r} dx'dy' Uz(x,y)=∬−∞+∞P(x′,y′)U0(x′,y′)jλrzrejkrdx′dy′

记u1=PU0,u2=Uzu_1=PU_0,u_2=U_zu1=PU0,u2=Uz，则
u2(x2,y2)=∬−∞+∞u1(x1,y1)zjλrejkrrdx1dy1r=(x2−x1)2+(y2−y1)2+z2,cos⁡(θ)=z/ru_2(x_2,y_2) = \iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x_1,y_1)\frac{z}{j \lambda r}\frac{e^{j k r}}{r} dx_1dy_1 \\r=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+z^2},\cos(\theta)=z/ru2(x2,y2)=∬−∞+∞u1(x1,y1)jλrzrejkrdx1dy1r=(x2−x1)2+(y2−y1)2+z2,cos(θ)=z/r

其中θ\thetaθ表示空间中点(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)的位移与zzz轴正方向的夹角。

考虑沿zzz轴传播的波，假设z=0z=0z=0处有一个小孔，当传播距离zzz较小时（比如波长λ\lambdaλ的几十倍或者几百倍），这个区域被称为near-field；传播距离zzz相对小孔的孔径非常大时，θ→0\theta \to 0θ→0，这个区域叫Fresnel region；当zzz非常大（z>>λz>>\lambdaz>>λ）时，z/λ→∞z/\lambda \to \inftyz/λ→∞，这个区域叫far-field或者Fraunhofer region。

Fresnel衍射的Small Angle Approximation方法

当x2−x1,y2−y1x_2-x_1,y_2-y_1x2−x1,y2−y1相对zzz足够小时，z≈rz \approx rz≈r，
zjλrejkrr≈1jλzejkr\frac{z}{j\lambda r} \frac{e^{jkr}}{r} \approx \frac{1}{j\lambda z}e^{jkr} jλrzrejkr≈jλz1ejkr

用Taylor近似
r=(x2−x1)2+(y2−y1)2+z2=z1+(x2−x1)2+(y2−y1)2z2≈z(1+12(x2−x1)2+(y2−y1)2z2−18((x2−x1)2+(y2−y1)2z2)2)\begin{aligned} r & =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+z^2} \\ & = z \sqrt{1+\frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{z^2}} \\ &\approx z \left( 1+\frac{1}{2}\frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{z^2} -\frac{1}{8} \left( \frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{z^2} \right)^2\right)\end{aligned}r=(x2−x1)2+(y2−y1)2+z2=z1+z2(x2−x1)2+(y2−y1)2≈z(1+21z2(x2−x1)2+(y2−y1)2−81(z2(x2−x1)2+(y2−y1)2)2)

用kkk表示波数，当
kz8((x2−x1)2+(y2−y1)2z2)2<<1\frac{kz}{8} \left( \frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{z^2} \right)^2<<18kz(z2(x2−x1)2+(y2−y1)2)2<<1

时（这个条件等价于z3>>π4λ(L1+L2)4z^3>>\frac{\pi}{4 \lambda}(L_1+L_2)^4z3>>4λπ(L1+L2)4），可以只用一阶近似。在波的传播公式中使用这个近似，
zjλrejkrr≈1jλzejkr≈1jλzejk(z+12z[(x2−x1)2+(y2−y1)2]),k=2πλu2(x2,y2)=∬−∞+∞u1(x1,y1)zjλr2ejkr⏟sphericalwavefrontdx1dy1=ejkzjλz∬−∞+∞u1(x1,y1)ejπλz[(x2−x1)2+(y2−y1)2]⏟quadracticwavefrontdx1dy1\frac{z}{j\lambda r} \frac{e^{jkr}}{r} \approx \frac{1}{j\lambda z}e^{jkr} \approx \frac{1}{j\lambda z} e^{jk(z+\frac{1}{2z}[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2])},k=\frac{2 \pi}{\lambda} \\ u_2(x_2,y_2) = \iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x_1,y_1)\frac{z}{j \lambda r^2}\underbrace{e^{jkr}}_{spherical\ wavefront} dx_1dy_1 \\ =\frac{e^{jkz}}{j\lambda z} \iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x_1,y_1) \underbrace{e^{j \frac{\pi}{\lambda z}[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2]}}_{quadractic\ wavefront}dx_1dy_1jλrzrejkr≈jλz1ejkr≈jλz1ejk(z+2z1[(x2−x1)2+(y2−y1)2]),k=λ2πu2(x2,y2)=∬−∞+∞u1(x1,y1)jλr2zspherical wavefrontejkrdx1dy1=jλzejkz∬−∞+∞u1(x1,y1)quadractic wavefrontejλzπ[(x2−x1)2+(y2−y1)2]dx1dy1

也就是说上述近似的本质是用二次波前近似球面波

在后续学习中，我们会发现Fraunhofer就是用平面波来近似

Fresnel衍射的卷积表示

Fresnel衍射的Fourier方法