挑战性题目DSCT501：大整数因子分解

问题描述

大整数质因子分解。

题解

笑死，数据结构课背包都不讲，却给学生出泼辣肉，我的心里只有感恩。

因为本题的数据范围巨大，传统的O(n)O(\sqrt n)O(n)的质因数分解已经不适用，需要另外的算法。

首先是质数探测算法——Miller_rabin算法，其基于费马小定理，若p是质数，ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv1\left(\mod p\right)ap−1≡1(modp)。同时，若ppp为质数，x2≡1(modp)x^2\equiv1\left(\mod p\right)x2≡1(modp)可推出x=1orp−1x=1\ or\ p-1x=1 or p−1。所以，我们要判断一个质数是否是质数时，先套费马小定理判断，如果符合费马小定理，再判断(n−1)/2(n-1)/2(n−1)/2是否满足上述第二个性质，如果对于一个预先设定的质数集合p[]（本人使用的集合为2,325,9375,28178,450775,9780504,17952650222, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 17952650222,325,9375,28178,450775,9780504,1795265022），数字nnn均通过上述检验，则认为其是质数。

之后，再利用大整数因数探测算法Pollar_Rho算法，若正整数nnn至少有一个因子不超过n\sqrt nn，设它任意一个因子为ppp，若随机生成ppp以内的数，期望O(p)O\left(\sqrt p\right)O(p)次就可以随机到两个一样的数。

随机生成[1,n][1,n][1,n]的正整数，它们modpmod\ pmod p下可近似看做在[1,p][1,p][1,p]内随机，随机生成两个数a,b(b>a)a,b(b>a)a,b(b>a)，若b=a(modp)→p∣(b−a)→gcd(n,b−a)≥pb=a(mod\ p)\rightarrow p|(b-a)\rightarrow gcd(n,\ b-a)\geq pb=a(mod p)→p∣(b−a)→gcd(n, b−a)≥p

那么gcd(n,b−a)gcd\left(n,b-a\right)gcd(n,b−a)必为nnn的一个大于111的因数。令随机数这样生成：a0=C,f(x)=x2+C,ai=f(ai−1)a_0=C,f\left(x\right)=x^2+C,a_i=f\left(a_{i-1}\right)a0=C,f(x)=x2+C,ai=f(ai−1)即跳一步就套用一次f(x)f\left(x\right)f(x)。这样做的好处是：若ax=ay(modp)→ax+1−ay+1=f(ax)−f(ay)=(ax+ay)(ax−ay)=0(modp)a_x=a_y\left(\mod p\right)\rightarrow a_{x+1}-a_{y+1}=f\left(a_x\right)-f\left(a_y\right)=\left(a_x+a_y\right)\left(a_x-a_y\right)=0(\mod p)ax=ay(modp)→ax+1−ay+1=f(ax)−f(ay)=(ax+ay)(ax−ay)=0(modp) 即任一距离为ddd的随机数modp\mod pmodp相同，所有距离为ddd的随机数modp\mod pmodp都相同，这样只需要检查其中一个即可。

免除记忆化：维护两个数，一个数每次调用两次fff，一个每次调用一次，如果走完了环，最后两个数一定会相遇。同时也枚举了所有距离。

优化：瓶颈在于gcdgcdgcd，可以减少取gcd(n,∣a−b∣)gcd\left(n,\left|a-b\right|\right)gcd(n,∣a−b∣)的次数，将所有的∣a−b∣\left|a-b\right|∣a−b∣乘起来，累计128128128次后再与nnn取gcdgcdgcd（前提是a,ba,ba,b还没有在环上相遇），复杂度约为O(n1/4)O(n^{1/4})O(n1/4)。

代码

感谢我的超人——Rockdu提供的泼辣肉模板，说实话我也没怎么搞懂，以后有缘再学。

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;LL n;namespace NT {LL gcd(LL a, LL b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}LL mul(LL a, LL b, LL m) {LL s = a * b - (LL)((long double)a * b / m + 0.5) * m;return s < 0 ? s + m : s;}LL fpow(LL x, LL a, LL m) {LL ans = 1;while(a) {if(a & 1) ans = mul(ans, x, m);x = mul(x, x, m), a >>= 1;}return ans;}
}namespace Miller_Rabin {using namespace NT;LL p[15] = {2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022};int detect(LL n, LL a) {if(n == a) return 1;if(a % n == 0) return 1;LL now = n - 1, lst = 1;if(fpow(a, now, n) != 1) return 0;while(!(now & 1)) {now /= 2;LL p = fpow(a, now, n);if(lst == 1 && p != 1 && p != n - 1)return 0;lst = p;}return 1;}LL MR(LL n) {if(n < 2) return 0;for(int i = 0; i < 7; ++i) {if(!detect(n, p[i])) return 0;}return 1;}
}namespace Pollard_Rho {using namespace NT;using namespace Miller_Rabin;LL f(LL x, LL C, LL p) {return (mul(x, x, p) + C) % p;}LL Rand() {return (rand() << 15) + rand();}LL Randll() {return (Rand() << 31) + Rand();}LL PR(LL n) {if(n == 4) return 2;if(MR(n)) return n;while(1) {LL C = Randll() % (n - 1) + 1;LL s = 0, t = 0;LL acc = 1;do {for(int i = 1; i <= 128; ++i) {t = f(f(t, C, n), C, n);s = f(s, C, n);LL tmp = mul(acc, abs(t - s), n);if(s == t || tmp == 0)break;acc = tmp;}LL d = gcd(n, acc);if(d > 1) return d;} while(s != t);}}typedef pair<LL, int > pii;vector<pii > DCOMP(LL n) {vector<pii > ret;while(n != 1) {LL p = PR(n);while(!MR(p)) p = PR(p);int c = 0;while(n % p == 0) n /= p, ++c;ret.push_back(make_pair(p, c));}return ret;}
}
void out(long long x){if(x>9)out(x/10);putchar(x%10+'0');}
int main(int argc,char* argv[]) {srand(19260817);LL n=atoll(argv[1]);if(n==1)return 0; auto ans = Pollard_Rho::DCOMP(n);out(ans[0].first);ans[0].second--;for(auto i : ans)while(i.second--) putchar('*'),out(i.first);return 0;
}