python函数拟合

背景

最近在抖音直播数学答疑的时候，恰好有一位朋友问到了这个问题，已知x，z，y三列数据如上图所示，请问y的最后一位数是多少？

乍一看，还以为很简单，拎（抡）起粉笔就一顿操作（猛如虎）

（1）分别将x，z，y三列数据记作3个数列{xn},{zn}\{x_n\}, \{z_n\}{xn},{zn} 和 {yn}\{y_n\}{yn}，其中n表示其所在数列的序号或位置。

（2）很容易发现如下规律
zn−xn=6(1)z_n-x_n=6 \tag{1}zn−xn=6(1)
和
xn+yn=xn+1(2)x_n+y_n=x_{n+1} \tag{2}xn+yn=xn+1(2)
以及

zn+yn=zn+1(3)z_n+y_n=z_{n+1} \tag{3}zn+yn=zn+1(3)

将（2）和（3）组合一下便得到（1），即

zn−xn=zn+1−xn+1=6(4)z_n-x_n=z_{n+1}-x_{n+1} =6 \tag{4}zn−xn=zn+1−xn+1=6(4)

而问题相当于是要求{yn}\{y_n\}{yn}的下一个yn+1y_{n+1}yn+1，上面3个关系式中却没有任何项涉及到，故这些关系不能解决根本问题，现在摆在我们面前的有两条路

找出数列 {xn}\{x_n\}{xn} ,{zn}\{z_n\}{zn} 的下一项 m 和 m+6，然后利用（1）-（4）的关系进行求解yny_{n}yn 下一项 λ\lambdaλ；

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x	-5	5	0	2	9	6	4	10	m
z	1	11	6	8	15	12	10	16	m+6
y	10	-5	2	7	-3	-2	6	λ\lambdaλ

直接找出 {yn}和{xn},{zn}\{y_n\} 和\{x_n\}, \{z_n\}{yn}和{xn},{zn} 之间的关系表达式，即

yn=f(xn,zn)(5)y_n = f(x_n, z_n) \tag{5}yn=f(xn,zn)(5)

由 {xn}\{x_n\}{xn} 和 {zn}\{z_n\}{zn}的关系，（5）又可以改写成

yn=f(xn)(6)y_n = f(x_n) \tag{6}yn=f(xn)(6)

第一条道路相当于绕了一圈，简称间接法，第二条道路更直接，简称直接法，我们先采用直接法来进行解答

先画出{yn}和{xn}\{y_n\} 和\{x_n\}{yn}和{xn}散点图

为了找出{yn}和{xn}\{y_n\} 和\{x_n\}{yn}和{xn}之间的函数关系，我们可以先建立一个最简单最纯粹的假设

y=ax+b(7)y =ax+b \tag{7}y=ax+b(7)

没错，就是最简单的线性关系，然后拟合出来系数 a 和 b分别是 -0.97580645和5.0702765 （保留8位小数），这样{yn}和{xn}\{y_n\} 和\{x_n\}{yn}和{xn}之间的函数关系便是

y=−0.9758x+5.07(8)y = -0.9758 x + 5.07\tag{8}y=−0.9758x+5.07(8)

然后画出来拟合函数，观察其与原数列之间的差距

我们看到除了第1个点和第5个点靠得近，其余的点差距还是挺大的，既然一次拟合性能太差，那么我来个2次函数呗，即假设

y=ax2+bx+c(9)y =ax^2+bx+c \tag{9}y=ax2+bx+c(9)

观察发现2次函数拟合和1次函数拟合没啥大的区别，再继续提高拟合函数次数

4次时候

观察发现第1，3，4，5四个点都靠的比较近，差距在缩小，继续提高次数
5次的时候

观察发现第2，6，7三个点拟合的还不够完美，继续提高次数

6次的时候

此时，拟合曲线恰好经过数列{yn}\{y_n\}{yn}的7点，可以认为拟合效果比较完美，此时的拟合函数为

y=−0.01265x6+0.2035x5−0.591x4−4.176x3+22.7x2−24.32x+2(10)y = -0.01265 x^6 + 0.2035 x^5 - 0.591 x^4 - 4.176 x^3 + 22.7 x^2 - 24.32 x + 2 \tag{10}y=−0.01265x6+0.2035x5−0.591x4−4.176x3+22.7x2−24.32x+2(10)

将x = 10代入上（10）式，求得 y = -351.60606060605966
从y值可以猜出这是一个无限循环小数，循环节为6060，故最后所求的y值为

−351.6060˙-351.\dot{6060}−351.6060˙

完整代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Project name: 找规律
Description:
Created on Sun Sep 20 17:27:34 2020
@author: 帅帅de三叔
"""
import numpy as np #导入数值分析模块
import matplotlib.pyplot as plt #导入绘图模块x0 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
x = [-5, 5, 0, 2, 9, 6, 4]
z = [1, 11, 6, 8, 15, 12, 10]
y = [10, -5, 2, 7, -3, -2, 6]plt.figure(figsize = (6,4))
plt.scatter(x0, x, color = 'r', label = "x")
plt.scatter(x0, z, color = 'g', label = "z")
plt.scatter(x0, y, color ="brown", label = "y")coef = np.polyfit(x, y, 6) #求出系数
print('拟合函数的系数 :\n', coef ) #打印出系数
funExpression = np.poly1d(coef) #求出表达式
print('拟合表达式 :\n',funExpression)  #打印出表达式
yFit =np.polyval(funExpression, x) #求出拟合函数的y值
print("拟合出来的y值：\n", yFit)
plt.plot(x0, yFit, color = 'blue', label ="fitting line")nextY = np.polyval(funExpression, 10) #求出拟合函数的y值
print("所求的y的值为：", nextY )
plt.legend(loc = "upper left")
plt.show()

参考文献
1， https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.0/reference/generated/numpy.polyfit.html

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