图论及其应用 2018年期末考试 答案总结
电子科技大学2019年图论期末考试答案总结(不一定正确，仅供参考)
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电子科技大学 图论 2018年期末考试答案，不一定完全正确，仅供参考。
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题号 |
答案 |
知识点与备注 |
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填空题 |
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1 |
2^m |
生成子图的定义 |
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2 |
\sum_{1<=i<j<=l}n_{i}n_{j} |
完全l部图定义；PPT上已有结论 |
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3 |
10 |
最小生成树算法 |
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4 |
7 |
块的定义 |
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5 |
5 |
强连通分支的含义 |
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选择题 |
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1 |
A |
只要求图的度序列，故和为偶数即可。 A不是偶数，故选A |
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2 |
B |
A：错误 如K2 B 正确，数学归纳 C 错误 如K2 D 错误，如自环或8字形闭迹(如两个C6的一个顶点连在一起)。 |
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3 |
A |
A: 错误，点连通度小于等于边连通度； B 正确。 由握手定理可证 C 正确。 点连通度<=最小度<=n-1 D 正确 就是定义 |
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4 |
B |
A错误，如8字形闭迹(如两个C6的一个顶点连在一起)。 B 正确 无奇圈 C 错误， 充分条件的否命题不一定成立(只是充分条件不是必要条件) D 错误 如C6 |
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5 |
D |
A:正确 贝尔热定理 定理1 (贝尔热，1957) G的匹配M是最大匹配，当且仅当G不包含M可扩路。必要性：若含一条M可扩路P，则P中M的边必非M的边少一条，于是可有新的M由P中非M边组成。与M时最大匹配矛盾！ 充分性：若不然，设M1是G的一个最大匹配，则|M1|>|M|,令H = M1ΔM。容易知道：G[H]的每个分支或者是由M1与M中边交替组成的偶圈，或者是由M1与M中边交替组成的路。在每个偶圈中，M1与M中边数相等；但因|M1|>|M|，所以，至少有一条路P，其起点和终点都是M非饱和点，于是，它是G的一条M可扩路。这与条件矛盾。 B 正确。哥尼定理 定理2 (哥尼，1931) 在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。 C 正确。首先证|X|=|Y|,之后对X中任意子集S，考虑与S关联的边集E1和与N(S)关联的边集E2，则E1包含于E2，可得|S|<=|N(S)|,故由Hall定理存在饱和X的匹配，又因为等部，故有完美匹配。 D 错误，无割边3正则图一定有完美匹配(彼得森定理)，但否命题不一定成立。其反例亦有割点。 |
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大题 |
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三 |
图序列的判定定理 注意排序即可 |
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四 |
证明 对于G的一条边e来说，G的生成树中包含边e的棵数为G.e，而不包含e的棵数为G-e. |
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五 |
由度序列判定定理，存在m<n/2,使得dm<=m且d(n-m)<n-m. 而Cm,n图的度序列恰好满足上述要求。 因此G度弱于该Cm,n图 即G度弱于某个Cm,n图 |
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六 |
K(4n+1)可以分解为2n个边不重的2因子的并；而两个边不重的2因子的并可以组合为一个4因子。因此K(4n+1)可以分解为n个4因子。故可以4因子分解。 |
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七 |
G*的边数为10，点数为3，且是平面连通图，故由欧拉公式，面数为9. 注意：当G不连通时，G的点数不等于G*的面数！故不能通过G的点数来求解！ |
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八 |
理想子图计数法 [k]3+2[k]4+[k]5 |
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九 |
边染色问题。 最大度为Δ=5；n=7=2*3+1;边数为16>3Δ，故边色数为6. 分组略 |
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十 |
点色数 有K3，故点色数>=3 可找到，故点色数=3 分组略 |
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