图论及其应用 2015年期末考试 答案总结
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题号 |
答案 |
知识点与备注 |
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填空题 |
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1 |
4 |
按边数分类讨论 |
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2 |
20 |
最小生成树算法 |
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3 |
37 |
只有两个奇数度点的最优欧拉环游得求法 最短路算法 |
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4 |
4 |
块的定义：没有割点的连通图称为是一个块图，简称块； G的一个子图B称为是G的一个块，如果(1), 它本身是块；(2), 若没有真包含B的G的块存在。 |
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5 |
3 |
A->B且B也能到A |
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选择题 |
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1 |
D |
A: 同构的性质 B 正确，只是图的度序列 C 正确。树至少有两片叶子，握手定理/最长路可证明。 D 不一定，如K8在v1v3加一条边 或 在v1v4加一条边 的两个图不同构 |
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2 |
C |
A：由邻接矩阵的定义易知； B 由A选项+握手定理易知； C 错误，同谱图就是指非同构但谱相同的图。 D 正确。调整行列位置即可。 |
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3 |
B |
A:显然不是，如倒过来游； B: 正确。连通图 是 欧拉图 等价于 顶点度数偶数 等价于 边集可划分为圈，即有圈 C：错误。如8字形的欧拉图，或者有自环， D: 错 要连通 |
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4 |
B |
A 正确 闭包完全图故闭包H图故GH图 B 错误 闭包只需要是H图即可推出G是H图 C 正确 H图判定的1必要4充分1充要中的必要条件 D 正确 可通过度序列判定定理的逆否 + 度极大非H图族的度序列证明 |
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5 |
B |
A: 正确 可通过反证法证明 B 错误 边足够多就不唯一 C 正确。先证|X|=|Y|, 然后对X中的任意子集S，其关联边集为E1；N(S)关联边集为E2，E1包含于E2，从而可以证得|S|<=|N(S)|, 故由Hall定理存在饱和X的匹配。又点数相同，因此存在完美匹配。 D 正确 哥尼定理。设M*是偶图最优匹配，U表示X中未饱和的点集。Z表示由M交错路连接到U的顶点的所有路上的点组成的集合。并令S=Z∩X,T=Z∩Y. 由M的最大性，T中的点是饱和的，且N(S)=T. 令K*=(X-S)UT. 可以证明：K*是G的一个覆盖，事实上，若K*不是G的一个覆盖，则存在G的一条边，其一个端点在S中，另一个端点在Y-T中，这与N(S)=T矛盾。 显然|K*|=|M*|，由定理2，K*是最小覆盖。 |
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大题 |
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三 |
(1) 在G中删掉一点v(任意的)得图G1; (2) 在图G1中求出一棵最小生成树T; (3) 在v的关联边中选出两条权值最小者e1与e2. 若H是G的最优圈，则： W(H)>=W(T)+W(e1)+W(e2) 理由：见课本P88最后一段 设C为最优哈密尔顿圈， 则对任意顶点v，C-v是最优哈密尔顿路，也是G-v中的生成树 因此，若T是G-v的最小生成树，同时e和f是和v关联的两条边，并使得w(f)+w(e)尽可能小，则W(T)+W(e)+W(f)将是一个下界。 |
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四 |
证明： (1)建模为偶图 设布尔阵是n行m列的矩阵。把它模型为一个偶图： 每行每列分别用一个点表示，X表示行点的集合，Y表示列点的集合，两点连线当且仅当该行该列不为0. (2)由哥尼定理证明结论 于是， 包含了所有1的最少数目：最小点覆盖； 具有性质“任意两个1都不在同一条线上的最大数目”即为最大匹配包含的边数。 二者相等故证毕 |
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五 |
证明 情形1：G连通，则将l=3代入，有m<=3n-6; 情形2：G不连通。欧拉公式+次数定理，即可得到m<=3n-3(k+1),得证。 |
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六 |
点着色问题，有K3 点色数大于等于3，可找到3，故需要分成3组。 分组略。 |
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七 |
(理想子图计数法) 2[k]3+6[k]4+5[k]5+[k]6 点色数3 |
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