图论及其应用 2010年期末考试 答案 总结
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题号 |
答案 |
知识点与备注 |
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填空题 |
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1 |
n(n-1)/4 |
自补图的定义 |
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2 |
n1+n2;m1+m2+n1n2 |
联图的定义 |
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3 |
6 |
最短路算法 |
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4 |
图G中由vi到vj的长度为k的途径的条数 |
注意是途径 |
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5 |
(-1, n-1; n-1,1) |
邻接谱的定义和计算 |
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6 |
16 |
托兰定理，小于等于T(3-1)，8，即8阶完全2等部图的边数。 |
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7 |
3 |
凯莱递推计数法/矩阵树定理。 C=D-A=|2,-1,-1;-1,2,-1;-1,-1,2|,故计算|2,-1;-1,2|即可 |
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8 |
3，3 |
小于等于最小度3； 之后尝试出来即可。 |
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9 |
C1，5；C2,5 |
度极大非哈密尔顿族的定义； n<m/2 |
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10 |
2,n |
n正则偶图；因为偶图故点色数为2；因为偶图且最大度n，故边色数n |
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选择题 |
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1 |
D |
A:必须和为偶数； B：图序列要满足判定定理； C：不唯一，如六边形v1,v2,...,v6,v7,v8; G1：在v1v3上加条边 和 G2：在v1,v4上加条边。 两者度序列相同但不同构。 D：正确。度一一对应。 |
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2 |
A |
强连通图的定义 |
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3 |
C |
AB:欧拉图和哈密尔顿图之间没有必然的联系。 C: 正确。如K2； D：非平凡连通的G是欧拉图 等价于 顶点度数为偶数 等价于 边集和能划分为圈。H图无此性质，如K5再加1条边，就没有办法进行圈分解。 |
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4 |
B |
A:显然错误。 B:正确。首先证|X|=|Y|. 之后由Hall定理，对X中任意子集S，其关联边集合为E1,数量为k|S|；N(S)关联边集合为E2，数量为k|N(S)|.E1包含在E2里，因此k|S|<=k|N(S)|.所以存在饱和X的匹配。又等部，故存在完美匹配。 C: 错误。匈牙利算法PPT中就包括完美匹配和最大匹配两部分。且Leetcode里匈牙利算法可以求最大匹配 D：完美匹配M是边集，但1因子是生成子图。所以当然不是。应改为完美匹配M的导出子图。 |
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大题 |
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三 |
握手定理+点数等式 5度顶点有7个 |
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四 |
12 最小生成树算法 |
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五 |
2[k]3+6[k]4+5[k]5+[k]6 |
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六 |
(1) 在G中删掉一点v(任意的)得图G1; (2) 在图G1中求出一棵最小生成树T; (3) 在v的关联边中选出两条权值最小者e1与e2. 若H是G的最优圈，则： W(H)>=W(T)+W(e1)+W(e2) 理由：见课本P88最后一段 设C为最优哈密尔顿圈， 则对任意顶点v，C-v是最优哈密尔顿路，也是G-v中的生成树 因此，若T是G-v的最小生成树，同时e和f是和v关联的两条边，并使得w(f)+w(e)尽可能小，则W(T)+W(e)+W(f)将是一个下界。 |
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七 |
最优匹配部分课本/PPT原题； 设M*是最优匹配，则其权重等于各点标号l(v)之和； 又设M是任意匹配，则其权重小于等于等于各点标号l(v)之和； 所以M*权重>=M的权重，故为最优匹配。 |
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八 |
用构造1个3因子的方法证明。 因为最小度大于等于n/2+1 故存在H圈，其中有1因子M1； 做G1=G-M1 则G1中最小度大于等于n/2,仍有H圈H2. 取M=M1UH2 M即为一个三因子。因此有三因子。 |
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九 |
点色数 有K3，故点色数>=3 可找到，故点色数=3 分组略 |
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