数学分析函数的连续性(第4章)

一.连续性
1.函数在1点的连续性
(1)增量:

(2)连续性的定义(3种):

2.左(右)连续性:

3.函数连续的充要条件(定理4.1):

函数f在点x₀处连续的充要条件是:f在x₀处既是左连续的,又是右连续的

4.间断点
(1)定义:

(2)分类:

函数f的间断点x₀的情况必为下述3种之一::
①f在x₀处无定义
②f在x₀处有定义但lim⁡x→x0f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}x→x0limf(x)不存在
③f在x₀处有定义且lim⁡x→x0f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}x→x0limf(x)存在(指有限极限,不包括非正常极限),但lim⁡x→x0f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}x→x0limf(x)≠f(x0)f(x_0)f(x0)
据此,可对函数的间断点进行分类

①第一类间断点:左/右极限均存在,仅包括以下2类
–i.可去间断点

可去间断点可通过下述方法转换成连续点:

–ii.跳跃间断点

第二类间断点:左/右极限至少有1个不存在(即其他形式的间断点),除以下2类还有很多类
–i.无穷间断点
–ii.震荡间断点

5.连续函数:

二.连续函数的性质
1.连续函数的局部性质
(1)局部有界性(定理4.2):

若函数f在点x₀处连续,则f在某U(x₀)上有界

(2)局部保号性(定理4.3):

若函数f在点x₀处连续,且f(x)>0(或<0),则对∀0<r<f(x₀)(或0<r<-f(x₀),∃某U(x₀),使对∀x∈U(x₀),有f(x)>r(或f(x)<-r)
在具体应用局部保号性时,常取r=12f(x0)\frac{1}{2}f(x_0)21f(x0),则当f(x0)>0f(x_0)>0f(x0)>0时,∃某U(x₀),使在其上有f(x)>12f(x0)\frac{1}{2}f(x_0)21f(x0)

(3)有限次四则运算不改变连续性(定理4.4):

若函数f,g在点x₀处连续,则f±g,f⋅g,fg(g(x0)≠0)f±g,f·g,\frac{f}{g}(g(x_0)≠0)f±g,f⋅g,gf(g(x0)=0)也都在x₀处连续

(4)有限次复合运算不改变连续性(定理4.5):

若函数f在点x₀处连续,g在点u₀处连续,u0=f(x0)u_0=f(x_0)u0=f(x0),则复合函数g○fg○fg○f在点x₀处连续
根据连续性的定义,结论也可表示为lim⁡x→x0g(f(x))=g(lim⁡x→x0f(x))=g(f(x0))\displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(f(x))}=g(\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)})=g(f(x_0))x→x0limg(f(x))=g(x→x0limf(x))=g(f(x0))

扩展到可去间断点处:

2.闭区间上连续函数的性质
(1)最大值与最小值:

(2)最大/最小值定理(定理4.6):

若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有最大值和最小值

引理(有界性定理):若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界

定理4.6的证明:

(3)介值性定理(定理4.7):

设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),若μ为介于f(a)与f(b)间的任何实数(f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b)),则至少∃1点x₀∈(a,b),使f(x₀)=μ
这个定理表面:若f在[a,b]上连续,不妨设f(a)<f(b),则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即[f(a),f(b)]⫋f([a,b])
该命题的几何意义如图4-2;下面的推论是定理4.7的等价命题

推论(根的存在定理):若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则至少∃1点x₀∈(a,b),使f(x₀)=0,即方程f(x)=0在(a,b)上至少有1个根
这个推论的几何解释如图4.3

由定理4.7可得性质:若f在区间I上连续且不为常量,则值域f(I)也是1个区间
特别地,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值/最小值为M/m,则f([a,b])=[m,M]
又若f为[a,b]上的递增(或减)连续函数且不为常函数,则f([a,b])=[f(a),f(b)] (或[f(b),f(a)])

3.反函数的连续性

定理4.8:若f在[a,b]上严格单调并连续,则其反函数f^-1在其定义域[f(a),f(b)] (或[f(b),f(a)])上连续

三.一致连续性
1.定义:

2.一致连续性与连续性:

比如y=1x\frac{1}{x}x1在(0,1]上连续但不一致连续

3.一致连续性定理(定理4.9):

若f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一直连续

4.任意区间上一致连续性的充要条件:

若f(x)定义在区间I上,f(x)在I上一致连续的充要条件是:对∀数列{x’_n},{x’'_n}⫋I,若lim⁡n→∞(xn′−xn′′)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(x'_n-x''_n)}=0n→∞lim(xn′−xn′′)=0,则lim⁡n→∞[f(xn′)−f(xn′′)]=0\displaystyle \lim_{n \to \infty}{[f(x'_n)-f(x''_n)]}=0n→∞lim[f(xn′)−f(xn′′)]=0

如:f(x)=1x(0<x≤1)f(x)=\frac{1}{x}(0<x≤1)f(x)=x1(0<x≤1),取xn′=1nn≤1x'_n=\frac{1}{n^n}≤1xn′=nn1≤1,xn′′=1n≤1x''_n=\frac{1}{n}≤1xn′′=n1≤1,则lim⁡n→∞(xn′−xn′′)=lim⁡n→∞1nn−lim⁡n→∞1n=0\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(x'_n-x''_n)}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n^n}}-\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}}=0n→∞lim(xn′−xn′′)=n→∞limnn1−n→∞limn1=0,但lim⁡n→∞[f(xn′)−f(xn′′)]=lim⁡n→∞nn−lim⁡n→∞n=+∞≠0\displaystyle \lim_{n \to \infty}{[f(x'_n)-f(x''_n)]}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}{n^n}-\displaystyle \lim_{n \to \infty}{n}=+\infty≠0n→∞lim[f(xn′)−f(xn′′)]=n→∞limnn−n→∞limn=+∞=0,故f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1在(0,1]上不一致连续

四.初等函数的连续性
1.初等函数的连续性
(1)基本初等函数的连续性(定理4.12):

一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数

(2)初等函数的连续性(定理4.13):

任何初等函数都是其定义区间上的连续函数

2.证明
(1)三角函数连续性:

(2)反三角函数的连续性:

(3)幂函数:

–i.对多项式函数:

–ii.对具有整数次幂的幂函数:

–iii.对具有有理数次幂的幂函数:

–iv.对具有实数次幂的幂函数:

(4)指数函数:

–i.定理4.10:设a>0,α,β为∀2个实数,则有a^α·a^β=a^α+β,(a^α)^β=a^αβ

–ii.定理4.11:指数函数a^x(a>0)在R上是连续的

(5)对数函数:

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[高数][高昆轮][高等数学上][第一章-函数与极限]08.函数的连续性与间断点
转载于:https://www.cnblogs.com/ccczf/p/9678426.html

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