凸包算法与JAVA求解的基本思路

一、凸包

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。

在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的凸组合来构造。

简单来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形，它的内部包含了点集中其余所有的点。

二、凸包算法的基本思路

如下图所示：

①首先我们要从最左、最下的点开始，如图中的B点（‘左’的优先级高，假设点B的正下方有一点Z，则从Z点开始）；

②设一个向量以B点作为根部，方向朝正上方‘↑’；

③令向量绕根部顺时针旋转，直到找到第一个在向量所指向的点（如图中点G，点F是第二个向量所能指向的点），若向量方向上有多个点，则选取距离最远的点；

④令该点成为向量新的起点，方向不变（该步中方向为向量 $\underset{BG}{\rightarrow}$ 的方向）；

⑤重复③、④步，直到③中所找的点为初始点（图中的B点）；

⑥整个过程中找到的所有的点构成了凸包的点集，相邻的找到的点之间的连线构成了凸包多边形，该图中找到的点的顺序为B - G - D - K - H - J - B。

三、JAVA求解凸包的一些准备工作

在最终求解凸包算法之前，我们需要准备一些辅助计算的方法：

（1）calculateRegularPolygonAngle(int sides)

①作用：输入多边形边数sides，返回多边形的内角度数总和；

②代码实现：

public static double calculateRegularPolygonAngle(int sides) {//如果多边形边数小于3，则不是多边形，返回0if(sides<3)return 0;//否则，代入公式计算内角和double angle=(double)(sides-2)*180/sides;return angle;}

（2）calculateBearingToPoint(double currentBearing, int currentX, int currentY, int targetX, int targetY)

①作用：输入目标点、向量根部点的坐标，以及向量方向与Y轴正方向的夹角，返回向量想要指向目标点所要转过的正角（正角：顺时针所要扫过的角度）；

②代码实现：

public static double calculateBearingToPoint(double currentBearing, int currentX, int currentY,int targetX, int targetY) {//计算从根部点到目标点的向量的横坐标double x=(double)(targetX-currentX);//同上，计算向量的纵坐标double y=(double)(targetY-currentY);//调用Math类下的atan2方法，计算向量所要偏转的正角度double degree=90-currentBearing-Math.toDegrees(Math.atan2(y, x));//如果角度为负，则转为正角if(degree<0) degree+=360;return degree;}

四、JAVA求解凸包的主函数

Set<Point> convexHull(Set<Point> points)

①作用：输入所有点构成的点集，返回凸包多边形的点集；

②代码实现：

public static Set<Point> convexHull(Set<Point> points) {//判断点的总数是否小于3，小于3则不能构成多边形if(points.size() < 3) {return points;}//定义新的Set集合，其中不会有重复元素，符合我们的要求Set<Point> set = new HashSet<>();Point xmin = new Point(Double.MAX_VALUE, Double.MAX_VALUE);//运用for-each遍历的方式，在所有点中寻找最左的点for(Point item : points) {if (item.x() < xmin.x() || (item.x() == xmin.x() && item.y() < xmin.y()))xmin = item;}//设最左的点为初始起点Point nowPoint = xmin, tempPoint = xmin;//初始化指向角度为0double nowAngle = 0, minAngle = 360, tempAngle = 0;double distance;double maxdistance = 0;//无差别地遍历所有的点do{set.add(tempPoint);//  遍历全部点，寻找下一个在凸包上的点for(Point item : points) {//当某一点不在点集之中或者该点为起始点if ((!set.contains(item) || item == xmin)  ) {//调用判断calculateBearingToPoint方法计算所需要偏转的角度tempAngle = calculateBearingToPoint(nowAngle, (int)nowPoint.x(), (int)nowPoint.y(), (int)item.x(), (int)item.y());//计算目标点与所在点之间的距离distance = (item.x() - nowPoint.x())*(item.x() - nowPoint.x()) + (item.y() - nowPoint.y())*(item.y() - nowPoint.y());/*如果某一点的偏转角比之前所找到的最小角度还要小则该角度成为了最小偏转角多个点在同一方向上时取距离所在点最远的目标点*/if(tempAngle < minAngle || ((tempAngle == minAngle) && (distance > maxdistance))) {minAngle = tempAngle;tempPoint = item;maxdistance = distance;}}}//遍历完所有点后，初始化判断指标，从刚刚找到的目标点再次出发，重复上述步骤nowAngle = minAngle;minAngle = 360;nowPoint = tempPoint;} while(nowPoint != xmin);  // 当下一个点为第一个点时找到了凸包上的全部点，退出循环return set;}

最终返回的Set类型的集合就是我们所要求得的凸包多边形点集。

五、实现过程中需要的Math类中的方法

（1）Math.round

①方法原型：long Math.round(double a)

②作用：输入一个浮点型小数，返回四舍五入后的值

（2）Math.toDegrees

①方法原型：double Math.toDegrees(double radian)

②作用：输入一个弧度制，返回对应的角度值

（3）Math.atan2(y,x)

①方法原型：double Math.atan2(double y,double x) (注意：输入的坐标值中纵坐标y在前面)

②作用：输入一个以原点为起点的向量所指向的一个点的坐标（x,y），返回该向量与X轴所夹正角的弧度值arctan(y/x)

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