考研数学笔记：曲率数学公式推导
2024-06-08 23:43:10
曲率
- 1. 曲线的曲率
- 2. 曲线的表示形式
- 3. 曲率计算公式及推导
- 3.1 参数方程1曲率公式推导
- 3.2参数方程2曲率公式推导
- 3.3小结
1. 曲线的曲率
- 几何体的曲率对于不同的对象有不同的定义。首先来看最简单的平面曲线。
- 首先把曲线分成无穷小的小段，每一段看作某个圆的一小段圆弧。这个圆叫做“密切圆”（Osculating Circle）。由于它与曲线只相交于极小的一段，又称为“接吻圆”（Kissing Circle）。这个圆的半径称为“曲率半径”。
- “曲率”是一个向量，它从圆弧上的参考点指向密切圆圆心。密切圆曲率半径的倒数就是这个圆弧在这个点上“曲率”的大小。所以，曲线越接近直线，曲率半径就越大，在这一点上的曲率就越小。直线曲率出处为零。
2. 曲线的表示形式
二维平面上的曲线有两种参数化形式，如下所示：
- 参数方程1
- 参数方程2
以上两种参数方程都可以唯一确定一条二维平面内的曲线。因此，下文计算的曲率、曲率的导数以及曲率导数的导数的公式都有两种等价的形式。
3. 曲率计算公式及推导
先给出熟悉的曲率计算公式：
以及：
3.1 参数方程1曲率公式推导
3.2参数方程2曲率公式推导
3.3小结
两种参数方程得到的曲率公式推导过程相似，最终公式形式也差不多。在表示曲线时，不同情况下用到的参数化方程不一样。为了简便 ，可以统一两种参数方程，令x ( t ) = t 时，参数方程1就变成了参数方程2。此时，x ′ = 1 , x ′ ′ = 0 ，代入式(1)就得到式(2)。下文中，只求针对参数方程1的曲率导数k’以及曲率导数的导数k ′′。
说明：数学公式不会插入所以用的他人的博客图片！！！
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