Python之高等数学的符号求解

1.求极限

#高等数学求极限
from sympy import *
x=symbols('x')
print(limit(sin(x)/x,x,0))
print(limit(pow(1+1/x,x),x,oo))  #小写字母oo代表正无穷

运行结果：
1
E

2.求导

from sympy import *
x,y=symbols('x y')  #构造符号变量
z=sin(x)+x**2*exp(y) #构造符号表达式
print("关于x的二阶偏导数：",diff(z,x,2))
print("关于y的一阶偏导数:",diff(z,y,1))

运行结果：
关于x的二阶偏导数： 2exp(y) - sin(x)
关于y的一阶偏导数: x**2exp(y)

3.级数求和

#级数求和
from sympy import *
k,n=symbols('k n')
print(summation(k**2,(k,1,n)))
print(factor(summation(k**2,(k,1,n))))  #把所得结果因式分解
print(summation(1/k**2,(k,1,oo)))

运行结果：

4，泰勒展开

#泰勒展开
#写出sinx在0点处的3,5,7阶泰勒展开，
#在同一个图形界面画出sinx及上述各阶泰勒展开式在[0,2]的图形from pylab import rc
from sympy import *
rc('font',size=16)
#rc('text',usetex=True)x=symbols('x')  #构造符号变量
y=sin(x)   #构造符号表达式for k in range(3,8,2):print(series(y,x,0,k))   #3,5,7
#for k in range(3,8,2):print(y.series(x,0,k))
plot(y,series(y,x,0,3).removeO(),series(y,x,0,5).removeO(),series(y,x,0,7).removeO(),(x,0,2),xlabel='$x$',ylabel='$y$')

运行结果：

不定积分和定积分

#不定积分和定积分from sympy import *
#from sympy import integrate,symbols,sin,pi,oo
x=symbols('x')
print(integrate(sin(2*x),(x,0,pi)))
print(integrate(sin(x)/x,(x,0,oo)))

运行结果：
0
pi/2

6.求代数方程的符号解

#求代数方程的符号解from sympy import *
x,y=symbols('x y')print(solve(x**3-1,x))
print(solve((x-2)**2*(x-1)**3,x))
print(roots((x-2)**2*(x-1)**3,x))   #得到根的重数信息   {解:重数}'''
x^3=1
解:原式=(x-1)(x^2+x+1)=0
x-1=0 =>x=1
x^2+x+1=0(由求根公式)=>x=(-1±√3i)/2
'''

运行结果：
[1, -1/2 - sqrt(3)*I/2, -1/2 + sqrt(3)*I/2]
[1, 2]
{2: 2, 1: 3}

7.代数方程组


from sympy import *
#from sympy import solve   3#等价from sympy.abc import x,y
#x,y=symbols('x y')                #等价s=solve([x**2+y**2-1,x-y],[x,y])print("方程组的解：",s)

运行结果：
方程组的解： [(-sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2), (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)]

8.求驻点以及最大值


from sympy import *
x=symbols('x')   #符号变量
y=2*x**3-5*x**2+x   #符号表达式
x0=solve(diff(y,x),x)  #求驻点print("驻点的精确解为：",x0)
print("驻点的浮点数表示为：",[x0[i].n() for i in range(len(x0))])
y0=[y.subs(x,0),y.subs(x,1),y.subs(x,x0[0]).n()]  #代入两个端点以及应该驻点的数值print("这三个数分别为：",y0)
print('\n')
print("最大值为：",max(y0))

运行结果：
驻点的精确解为： [5/6 - sqrt(19)/6, sqrt(19)/6 + 5/6]
驻点的浮点数表示为： [0.106850176076554, 1.55981649059011]
这三个数分别为： [0, -2, 0.0522051838383851]

最大值为： 0.0522051838383851

9.求微分方程通解

#求微分方程（方程组）的符号解from sympy import *
x=symbols('x')
y=symbols('y',cls=Function)eq1=diff(y(x),x,2)-5*diff(y(x),x,1)+6*y(x)
eq2=diff(y(x),x,2)-5*diff(y(x),x,1)+6*y(x)-x*exp(2*x)print("齐次方程的解",dsolve(eq1,y(x)))
print("非齐次方程的解",dsolve(eq2,y(x)))

运行结果：
齐次方程的解 Eq(y(x), (C1 + C2*exp(x))exp(2x))

非齐次方程的解 Eq(y(x), (C1 + C2*exp(x) - x**2/2 - x)exp(2x))

求微分方程的符号解

from sympy import *
x=symbols('x')
y=symbols('y',cls=Function)eq1=diff(y(x),x,2)-5*diff(y(x),x)+6*y(x)
eq2=diff(y(x),x,2)-5*diff(y(x),x)+6*y(x)-x*exp(2*x)print("初值问题的解：{}".format(dsolve(eq1,y(x),ics={y(0):1,diff(y(x),x).subs(x,0):0})))y2=dsolve(eq2,y(x),ics={y(0):1,y(2):0})print("边值问题的解：{}".format(y2))

运行结果：
初值问题的解：Eq(y(x), (3 - 2*exp(x))exp(2x))

边值问题的解：Eq(y(x), (-x**2/2 - x + 3*exp(x)/(-1 + exp(2)) + (-4 + exp(2))/(-1 + exp(2)))exp(2x))

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