计算机科学的起源是为了解决数学问题，所以，在某种程度上，可以把计算机科学归为数学的一个分支。因此，可以通过使用Python程序来学习高等数学中的知识，如积分、微分等，反之，也可以通过解决数学问题深化Python的 编程 思维。

积分的由来

在古埃及，尼罗河经常泛滥成灾，但是每当洪水退去之后，就会留下肥沃的冲积平原供人们播种。古时候的人们想知道冲积平原上可用的耕地面积，但是冲积平原的形状不是常规的矩形或者圆形，而是不规则的形状，这就为测量的工作带来了麻烦。

后来经过数学家们的不断探索，他们发现，如果把这些不规则的形状分割成一个个小的矩形，只要把矩形窄的一边切得足够小，再把这些矩形的面积加起来，矩形的面积之和就无限接近于不规则图形的实际面积，这就是积分的由来，积分的几何意义就是求函数与坐标系形成的面积。

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受到启发的数学家们，在测量一块不规则的图形面积时，会把沿着河流的一侧当做横轴，就是坐标系里的x轴，把与河流呈逆时针90°方向的一侧当做纵轴，也就是坐标系里的y轴。这样，对于每一个x的值，都有一个对应y的值与之对应。在这里，我们把x的值叫做自变量，y的值叫做因变量，记作y = f(x)。对，你没看错，这就是函数的雏形。

有了函数之后好处就多了。我们把不规则形状的横向距离(假设为L)分为n等分(n->+∞)，那么，横坐标是从0开始的，每一份的长度就是L/n。那么第一块矩形对应的横坐标点是1*L/n，第二块矩形对应的横坐标点是2*L/n，第三块矩形对应的横坐标点是3*L/n…以此类推，那么聪明的你肯定已经想到了，第n块矩形对应的横坐标点是就是L。

既然确定了横坐标，那么纵坐标的位置就可以通过f(x)来求出，那么第一块矩形的面积就是L/n*f(1*L/n)，第二块矩形的面积就是L/n*f(2*L/n)…第n块矩形的面积就是L/n*f(L)，然后把这些数加起来就得到了不规则图形的面积。

sin(x)的积分(面积)

学过高等数学的你一定还记得，sin(x)在0-2π上的面积为 4，如下：

用Python求sin(x)在0-2π上的面积

想要求一个规则图形的面积，如长方形，直接用长×宽即可，但是如果要求一个不规则的图形面积，如sin(x)在0-2π上的面积呢？

根据积分的来源和积分的含义，实际上很容易知道可以通过将曲面面积划分为一个个矩形，最后求矩形之和的方式来实现 (顺便说一句：声波的音频采样(数字化)也是类似的原理) 。如下：

那么如何用Python代码来实现呢？

首先，我们需要将sin(x)与x轴在0-2π组成的面积划分为很多个矩形，因此需要引入一个变量n，那么矩形在x轴上的宽度(width)即为2π/n。

其次，我们需要通过sin(X)函数求出每个矩形的高度(height)，假设为第i个矩形，则其高度为sin(i*width)。

最后，我们还需要把所有矩形的和相加，这里需要用到for循环。

另外，还需要注意的是，由于sin(x)在π-2π之间时为负数，因此还需要使用绝对值函数。

import math

n = 100 # n是将x轴(0-2π)切段的数量

area = 0

width = 2 * math.pi / n

for i in range(1,n+1):

x = i * width

height = abs(math.sin(x))

area += width * height

print(area)

程序输出结果为：3.9986839661525218。

即，当我们将sin(x)在0-2π上划分为100个小矩形时，小矩形面积之和为3.9986839661525218。

聪明的你应该想到，如果矩形划分的越细，数量越多，矩形面积之后就应该更接近于sin(x)的真实面积。那么，如果将n设置为1000000，其结果会是怎样了。

正如你所想，程序输出结果为：3.999999999986816。Great！很明显与n=100相比，更加接近于sin(x)的真实面积(4)了。

好了，本次的Python小课，Python与高等数学之Python与积分就到这里了，下次咱们再聊聊Python与高等数学之Python与微分。