图之DFS与BFS的复杂度分析

1. BFS的复杂度分析

vvv为图的顶点数，EEE为边数。

BFS是一种借用队列来存储的过程，分层查找，优先考虑距离出发点近的点。无论是在邻接表还是邻接矩阵中存储，都需要借助一个辅助队列，vvv个顶点均需入队，最坏的情况下，空间复杂度为O（v）O（v）O（v）。

邻接表形式存储时，每个顶点均需搜索一次，时间复杂度T1=O（v）T1=O（v）T1=O（v），从一个顶点开始搜索时，开始搜索，访问未被访问过的节点。最坏的情况下，每个顶点至少访问一次，每条边至少访问1次，这是因为在搜索的过程中，若某结点向下搜索时，其子结点都访问过了，这时候就会回退，故时间复杂度为O(E)O(E)O(E)，算法总的时间复度为O(∣V∣+∣E∣)O(|V|+|E|)O(∣V∣+∣E∣)。

邻接矩阵存储方式时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V)O(V)O(V)，即该节点所在的该行该列。又有vvv个顶点，故算总的时间复杂度为O(∣V∣2)O(|V|^2)O(∣V∣2)。

2. DFS复杂度分析

DFS算法是一一个递归算法，需要借助一个递归工作栈，故它的空间复杂度为O(V）O(V）O(V）。

遍历图的过程实质上是对每个顶点查找其邻接点的过程，其耗费的时间取决于所采用结构。

邻接表表示时，查找所有顶点的邻接点所需时间为O(E)O(E)O(E)，访问顶点的邻接点所花时间为O（V）O（V）O（V）,此时，总的时间复杂度为O(∣V∣+∣E∣)O(|V|+|E|)O(∣V∣+∣E∣)。

邻接矩阵表示时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V)O(V)O(V)，要查找整个矩阵，故总的时间度为O(∣V∣2)O(|V|^2)O(∣V∣2)。

算法（一）时间复杂度

1.算法的效率

虽然计算机能快速的完成运算处理，但实际上，它也需要根据输入数据的大小和算法效率来消耗一定的处理器资源。要想编写出能高效运行的程序，我们就需要考虑到算法的效率。
算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：
时间复杂度：评估执行程序所需的时间。可以估算出程序对处理器的使用程度。
空间复杂度：评估执行程序所需的存储空间。可以估算出程序对计算机内存的使用程度。

设计算法时，一般是要先考虑系统环境，然后权衡时间复杂度和空间复杂度，选取一个平衡点。不过，时间复杂度要比空间复杂度更容易产生问题，因此算法研究的主要也是时间复杂度，不特别说明的情况下，复杂度就是指时间复杂度。

2.时间复杂度

时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)T(n)T(n)。

时间复杂度

前面提到的时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律，为此我们引入时间复杂度的概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)T(n)T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)f(n)f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)T（n)/f(n)T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)f(n)f(n)是T(n)T(n)T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))T(n)=O(f(n))T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

3.大O表示法

像前面用O()O( )O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O表示法。
算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估，由于平均情况大多和最坏情况持平，而且评估最坏情况也可以避免后顾之忧，因此一般情况下，我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。
大O表示法O(f(n)O(f(n)O(f(n)中的f(n)的值可以为1、n、logn、n²1、n、logn、n²1、n、logn、n²等，因此我们可以将O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别可以称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶，那么如何推导出f(n)的值呢？我们接着来看推导大O阶的方法。

推导大O阶

推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法：
1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

1. 常数阶

先举了例子，如下所示。

int sum = 0,n = 100; //执行一次
sum = (1+n)*n/2; //执行一次
System.out.println (sum); //执行一次

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。如果sum = （1+n）*n/2这条语句再执行10遍，因为这与问题大小n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)O(1)O(1)，我们可以称之为常数阶。

2. 线性阶

线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//时间复杂度为O(1)的算法
…
}

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)O(n)O(n)。

3. 对数阶

接着看如下代码：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//时间复杂度为O(1)的算法
…
}

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)O(logn)O(logn)。

4. 平方阶

下面的代码是循环嵌套：

for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;i++){
//复杂度为O(1)的算法
…
}
}

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)O(n²)O(n²)。
接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度：

for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i;j<n;i++){
//复杂度为O(1)的算法
…
}
}

需要注意的是内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，我们可以推算出总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，因此保留n²/2n²/2n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/21/21/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)O(n²)O(n²)。

5. 其他常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度：

f(n)=nlognf(n)=nlognf(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)，可以称为nlognnlognnlogn阶。
f(n)=n³f(n)=n³f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)O(n³)O(n³)，可以称为立方阶。
f(n)=2ⁿf(n)=2ⁿf(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)O(2ⁿ)O(2ⁿ)，可以称为指数阶。
f(n)=n!f(n)=n!f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)O(n!)O(n!)，可以称为阶乘阶。
f(n)=(√nf(n)=(√nf(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)O(√n)O(√n)，可以称为平方根阶。

4.复杂度的比较

下面将算法中常见的f(n)值根据几种典型的数量级来列成一张表，根据这种表，我们来看看各种算法复杂度的差异。

n	logn	√n	nlogn	n²	2ⁿ	n!
5	2	2	10	25	32	120
10	3	3		30	100	1024
50	5	7	250	2500	约10^15	约3.010^64
100	6	10	600	10000	约10^30	约9.310^157
1000	9	31	9000	1000 000	约10^300	约4.0*10^2567

从上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n)、O(nlogn)O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )O(n)、O(logn)、O(√n)、O(nlogn)随着n的增加，复杂度提升不大，因此这些复杂度属于效率高的算法，反观O(2ⁿ)和O(n!)O(2ⁿ)和O(n!)O(2ⁿ)和O(n!)当n增加到50时，复杂度就突破十位数了，这种效率极差的复杂度最好不要出现在程序中，因此在动手编程时要评估所写算法的最坏情况的复杂度。

下面给出一个更加直观的图：
这里写图片描述

其中x轴代表n值，y轴代表T(n)值（时间复杂度）。T(n)值随着n的值的变化而变化，其中可以看出O(n!)和O(2ⁿ)O(n!)和O(2ⁿ)O(n!)和O(2ⁿ)随着n值的增大，它们的T(n)值上升幅度非常大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)O(logn)、O(n)、O(nlogn)O(logn)、O(n)、O(nlogn)随着n值的增大，T(n)值上升幅度则很小。
常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)

https://blog.csdn.net/Charles_ke/article/details/82497543
https://zhuanlan.zhihu.com/p/37727433