数据结构与算法--最小的k个数

最小的k个数

题目：输入n个整数，找出其中最小的k个数，例如输入4,5，6,7，8,9这六个数字，则最小的4个是4,5，6,7

方案一

还是最直观的方法，先排序，最快的是快排O(nlog2ⁿ)，然后遍历前面k个数组，得到我们需要的答案，这个最简单方案应该有更优实现

方案二

题意，我们需要找出最小的k个数字，还是从快排的思路收到启发
我们同样基于快速排序，但是只找出第k个大的数字
因为快排过程中会将比基准值小的放到之前，比基准值大的放到后面，因此只需要找到第k个大的数字，在之前的数就是我们需要的数
基于如上分析有如下代码：

/*** 找出数组中最小的K个数** @author liaojiamin* @Date:Created in 10:18 2021/6/16*/
public class GetLeastNumbers {public static void main(String[] args) {Integer[] arrayData = new Integer[20];Random random = new Random();for (int i = 0; i < 20; i++) {arrayData[i] = random.nextInt(50);System.out.print(arrayData[i]+",");}System.out.println();Integer[] newArray = getLeastNumbers(arrayData, 10);for (Integer integer : newArray) {System.out.print(integer+",");}}/*** 按快速排序思路，找到第k个大的数，将小的放k前面* 将大的放k后，得到数组中最小的k个数就是下标是0~k的所有数*/public static Integer[] getLeastNumbers(Integer[] array, Integer key) {if (array == null || array.length <= 0 || array.length < key) {return new Integer[]{};}if (array.length == key) {return array;}return quickSort(array, 0, array.length-1, key);}public static Integer[] quickSort(Integer[] array, Integer left, Integer right, Integer key) {if (left < right) {Integer middle = quickSortSwap(array, left, right);if (middle == key) {return Arrays.copyOfRange(array, 0, key);}quickSort(array, left, middle - 1, key);quickSort(array, middle + 1, right, key);}return Arrays.copyOfRange(array, 0, key);}public static Integer quickSortSwap(Integer[] array, Integer left, Integer right) {if (left < right) {Integer position = array[left];while (left < right) {while (left < right && array[right] > position) {right--;}if (left < right) {array[left] = array[right];left++;}while (left < right && array[left] < position) {left++;}if(left < right){array[right] = array[left];right --;}}array[left] = position;}return left;}
}

基于快排的方案是有限制的，因为我们需要修改输入的数组，最后的顺序是变化的，如果要求不能修改输入的参数，我们是否有其他方案。

方案三

既然不能修改原值，那么我们复制一个我们需要的值，还是空间换时间的做法
我们建一个原数组大小的容器用来存储，接着在容器中找出最小的k个数
本次我们需要的存储的特点是能快速的找到最小值，这样重复查找k次最小值，就能得到结果
如果我们用二叉查找树来实现这个容器，那么我们每次查询的时间复杂度是O(logn)，也就是层高度，那么k次查询就是O(klogn)
但是还有其他变种的二叉查找树二叉堆中对小堆，之前文章：数据结构与算法–二叉堆（最大堆，最小堆）实现及原理对最大堆，最小堆的实现有详细的解释
最小堆的特点在于能在O(1)时间内找到最小值，就是二叉堆的根节点
并且二叉堆的结构特性就在于能够快速的查询，我们将所有数据构造成一个最小堆，然后经k次O(1)的操作，就能得到结果
经如上分析有如下代码：

/*** 找出数组中最小的K个数** @author liaojiamin* @Date:Created in 10:18 2021/6/16*/
public class GetLeastNumbers {public static void main(String[] args) {Integer[] arrayData = new Integer[20];Random random = new Random();for (int i = 0; i < 20; i++) {arrayData[i] = random.nextInt(50);System.out.print(arrayData[i]+",");}System.out.println();Integer[] heapArray = getLeastNumbersByBinaryHeapMax(arrayData, 10);for (int i = 0; i < heapArray.length; i++) {System.out.print(heapArray[i]+",");}}/*** 利用二叉堆，最小堆的结构特性，构建最小堆后，每次去跟节点都是最小的节点* 循环取k个最小堆中根元素，得到我们的结果* */public static Integer[] getLeastNumbersByBinaryHeapMax(Integer[] array, Integer key){if (array == null || array.length <= 0 || array.length < key) {return new Integer[]{};}if (array.length == key) {return array;}Integer size = (array.length + 2 )*11/10;BinaryHeap binaryHeap = new BinaryHeap(size);for (int i = 0; i < array.length; i++) {binaryHeap.insert(new AnyType(array[i]));}Integer[] result = new Integer[key];for (Integer i = 0; i < key; i++) {result[i] = Integer.valueOf(binaryHeap.deleteMin().getElement().toString());}return result;}
}

方案四

如上最小堆的实现中虽然找最小值都是O(1)，但是在构造最小堆的过程中我们需要O(logn)的时间复杂度，如果题目要是海量数据，其实我们也可以用最大堆
我们可以用k个元素的最大堆，当堆满后，每次读入原数组中一个数据，与最大数据比较（O(1)时间）
如果比最大数据要小，我们删除最大数据，插入当前值，直到整个数组遍历完
此时得到的最大堆中k个数据就是我们需要的数据
这种方案可以用来处理海量数据时候内存占用过多的问题。
海量数据情况下，空间复杂度O(k)的实现方式如下：

/*** 找出数组中最小的K个数** @author liaojiamin* @Date:Created in 10:18 2021/6/16*/
public class GetLeastNumbers {public static void main(String[] args) {Integer[] arrayData = new Integer[20];Random random = new Random();for (int i = 0; i < 20; i++) {arrayData[i] = random.nextInt(50);System.out.print(arrayData[i]+",");}System.out.println();Integer[] maxArray = getLeastNumberByBinaryHeapMax(arrayData, 10);for (Integer integer : maxArray) {System.out.print(integer+",");}}/*** 利用二叉堆，最大堆，处理海量数据情况下获取前k个最小的数据* */public static Integer[] getLeastNumberByBinaryHeapMax(Integer[] array, Integer key){if (array == null || array.length <= 0 || array.length < key) {return new Integer[]{};}if (array.length == key) {return array;}Integer size = (array.length+2)*11/10;BinaryHeapMax binaryHeapMax = new BinaryHeapMax(size);for (int i = 0; i < array.length; i++) {AnyType anyType = new AnyType(array[i]);if(binaryHeapMax.heapSize() >= key){Integer heapMax =  Integer.valueOf(binaryHeapMax.findMax().getElement().toString());if(array[i] < heapMax){binaryHeapMax.deleteMax();binaryHeapMax.insert(anyType);}}else {binaryHeapMax.insert(anyType);}}AnyType[] anyTypes = binaryHeapMax.getAppHeapData();Integer[] result = new Integer[key];for (int i = 0; i < anyTypes.length; i++) {result[i] = Integer.valueOf(anyTypes[i].getElement().toString());}return result;}
}

解法对比

第一种方案直接排序遍历平均时间复杂度是O(nlog2ⁿ)，比第二种思路上更容易理解，但是同时也有明显的限制会修改入参数组
第二种解法，也是基于快排思路，但是可以在中间退出，因此时间复杂度小于O(nlog2ⁿ)，同样也会修改入参数组
第三种方法，最小堆的方式，先构建最小堆，在读取，这种有两个明显优点，一个是没有修改输入的数据，因为我们只是读取入参数组中的数字，所有写操作都是在最小堆中完成，二是解法简单，缺点也明显，时间复杂度更大，构建时候需要insert，n次，每次insert的平均时间复杂度是O(logn)，因此是O(nlogn)
第四种算法适合海量数据的输入，如果题目要求的是海量数数据中找k个数，内存的大小限制，不可能全读取如内存，这时候，我们只一次读取一个数据进内存，只要求内存容纳的下最大堆中的k个数据即可，能有效解决n很大，k很小的情况，时间复杂度也是O(nlogk)

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