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深度学习在诸多应用领域取得了巨大的成功，但是其背后的基础理论确相对有些滞后。与传统浅层学习模型不同，深度学习所得到的深度神经网络（DNNs）层次更为复杂，然而泛化性能却很好！在第二期AI Time PhD ICLR专题分享直播间，毕业于北京大学的刘锦龙博士，从全新的角度和大家探讨了这个问题！一起来看看这篇ICLR顶会焦点论文，是如何从梯度信噪比来理解深度学习的泛化性能为什么这么好吧！

一、深度学习的泛化能力问题

对传统的机器学习浅层模型（比如线性回归、SVM）而言，参数量越大，越容易过拟合，泛化性能也就越差。

相比之下，深度神经网络模型包含巨大的参数量， 通常比训练样本数目多得多，按照经典泛化理论，应该会出现严重的过拟合问题。

然而在实践中，在真实数据上训练的深度学习模型通常具有很好泛化性能。很多时候DNN模型越大，泛化效果可能会越好。传统的泛化理论无法解释其中机理！

二、两个定义

a)

One-Step Generalization Ratio

一步泛化比例 (OSGR)：在梯度下降过程的每一步迭代中，测试集的loss下降和训练集的loss下降的期望值的比值。该指标用于刻画梯度下降法训练过程中的泛化性能。

一般测试集的loss下降比训练集的loss下降更慢，意味着每一步迭代中，这个比值应该小于1。OSGR越接近1，泛化性能越好，反之则越差。

上图分别为OSGR值为0、0~1以及1的情况。

OSGR=0时，training loss在下降，但test loss无变化；OSGR=1时，test loss和training loss的下降速度一致，说明没有generation gap，泛化性能为最为理想；然而OSGR大部分处于0~1之间，中间这种曲线在训练中最为常见。

b)

Gradient Signal to Noise Ratio

参数的梯度信噪比 (GSNR)：在所有样本逐个分别计算每个参数的梯度，对每个参数分别计算sample-wize的梯度均值和方差，得到梯度的均值的平方与梯度的方差之间的比值。该指标刻画了在梯度下降过程中不同sample的梯度的一致性。

如果所有sample梯度一样，则方差为0，梯度信噪比为无穷大。因此GSNR值越大，各个sample的梯度方向的一致性越高。

三、结论：OSGR与GSNR有关

刘博士提出：梯度信噪比越大，一步泛化比例越接近于1，即Larger GSNR leads to better generalization。

该结论基于两个假设：

(1)Learning rate足够小（接近于零）。

(2)训练集的平均梯度和测试集的平均梯度服从同一分布。（训练后期此条假设不成立，因为模型参数在训练后期会很好地拟合训练集，使得训练集的梯度和测试集的梯度不再服从同一分布。）

上式中，左边代表OSGR，与右边的GSNR有关。

也就是说，如果训练过程中各个sample之间梯度方向趋于一致，则test loss和training loss 的gap比较小，泛化性能比较好，测试集和训练集的下降速度就比较接近；如果不同sample的梯度方向相差很大，分布不一致，那么训练过程中training loss和test loss下降速度的比值会很小（接近与0），泛化性能也就很差。具体的结论推导过程可以参考文章。

由于等式左边可以通过定义计算，右边也可以统计均值、方差从而计算出来。因此我们可以通过实验验证该等式是否成立！

上图是在MNIST上的试验。训练初期，比如epoch=20的时候，蓝线和红线重合，表示等式左边等于右边，但是训练后期会有很大偏差。虽然后期左边不等于右边，但是左、右依然有很强的正相关性，相关系数在0.9以上，因此Larger GSNR leads to better generalization这个结论依然成立。

四、解释DNN的泛化性能

目前为止，刘博士的分析和实验得到了一个结论：在梯度下降法训练过程中，GSNR越大，OSGR越大，最终泛化越好。但这个结论适用于任何梯度下降法训练的模型，如何用它解释DNN的泛化性能呢？

如果我们将样本标签设置成随机（randomized），仍然可以在训练集上把loss下降到零，但由于这样的训练集已经不包含任何知识（标签全是错的），无法学到什么，所以没有任何泛化性能。实验结果中，黄线（random label）的GSNR始终很低。这符合我们的结论：GSNR可以揭示模型的泛化能力。

图中蓝线显示，深度学习GSNR在训练初期会有明显上升过程。按理说，随着训练进行，梯度均值会越来越小，在收敛时接近于零，同时方差会越来越大，因此梯度信噪比GSNR应该不断下降才对。对于浅层的模型，确实如此。

但DNN为什么有上升过程？

答案：正是这个GSNR初期上升的过程使得GSNR在DNN的训练中始终保持在一个比较高的值，这就是深度学习泛化能力较好的原因！

刘博士展示了一个简单的对比实验，用一个两层MLP模型，分别冻结和打开它的第一层参数，训练这个模型。显然，在冻结第一层参数的情况下，模型等价于线性回归。在这两种情况下，分别统计模型第二层的平均GSNR，发现在冻结的情况下，GSNR始终在下降，而在打开的情况下，GSNR会有一个明显的上升过程。这就清楚地表明了深度学习和浅层（linear regression）模型GSNR不同的表现。

分析认为，在打开的情况下，模型第一层的参数能够学习到较好的特征，而模型第二层的和这些特征相乘的权重的梯度在不同的sample上会具有更好的一致性。即大部分sample都同时倾向于使这个权重增大或者减小，对应的此权重的GSNR也会较大。

解析的分析上，刘博士在全连接网络的情况下，通过推导阐述了一个有趣的机制，这个机制使得在模型训练的初期，模型大部分参数的平均梯度（GSNR的分子）会倾向于增大。具体大家可以参见文章。

总结

1.刘博士的团队在若干假设下证明了，对于梯度下降法，训练过程中GSNR越大，最终模型的泛化性能越好。

2.对于深度学习模型，训练初期会存在一个GSNR快速上升的现象，这个现象使得深度学习具有很好的泛化性能。它和深度学习模型的特征学习能力密切相关，可通过实验和解析分析论证这一点。

答疑互动

最后分享直播结束后，微信群里大家与嘉宾的部分互动。

Random label如何实现？怎么去做loss呢？例如在cifar10上如何做random label？

每个样本随机分配一个标签，这样以后数据中就不包含知识。具体可以去看2017年ICLR best paper: Rethinking Generalization.

是否考虑过不同深度学习模型，比如LSTM或CNN等？原文用的数据集都是图像分类吗？

我们实验用的就是CNN，我们的理论推导其实是一般性的推导，不依赖于模型结构。LSTM的实验确实没做。原文用的数据集都是图像分类，详情参见文章。

文章结论会受任务类型影响吗？

不会，我们也用toy回归模型验证了。因为是先理论推导，再实验验证，二者在初期能完美符合，所以我们有很强的信心不会因为任务的改变而改变。

整理：鸽鸽

审稿：刘锦龙

参考文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/99516219

https://openreview.net/forum?id=HyevIJStwH

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（直播回放：https://www.bilibili.com/video/BV1Lz4y197uH）