汉诺塔递归与非递归实现

背景介绍

汉诺塔（Tower of Hanoi），又称河内塔，是一个源于印度古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

一、汉诺塔的递归实现：

对于汉诺塔的递归实现，我们来这样理解：

无论如何我们都需要将第n个盘子移动到C柱子上。
我们什么时候能够取到第n个盘子，必须要把1~n-1个盘子取下来。
当我们把第n个盘子放到C柱子上后，这时候不就变成了n-1个盘子的汉诺塔了吗？因为无论无何都不会再移动比n大或者相同的盘子号，所以我们只需要将1~n-1个盘子从B柱子移动到C柱子上。
如果没有盘子，我们就不需要做任何操作。
当我们需要实现n个盘子的操作，就表示我们必须要实现n-1个盘子的操作；当我们需要实现n-1个盘子的操作，就表示我们必须要实现n-2个盘子的操作…

综上所述，我们来想象一个函数，它能够完成n个盘子的汉诺塔。这样子的话我们也可以借助这个想象的函数来实现n-1个盘子的汉诺塔。那么这个函数的结构我们很容易想到：

 //表示将n个盘子的汉诺塔从origin开始经过pass到达destination的伪代码：
void func(n, origin, pass, destination){if(n == 0){ return; }                 // 终止条件。func(n-1, origin, destination, pass); // 首先将n-1个盘子借助C柱移动到B柱上。move(n, origin, destination)          // 移动第n个盘子。func(n-1, pass, origin, destination); // 最后将n-1个盘子借助B柱移动到C柱上。return;
}

代码如下：

# 源代码
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <cmath>using namespace std;void reHanoi(int, char, char, char);int main(){int n;printf("please input the number of Hanoi: ");scanf("%d", &n);reHanoi(n, 'A', 'B', 'C');return 0;
}void reHanoi(int n, char from, char pass, char to){ //汉诺塔的递归实现if(n == 0){ return; }reHanoi(n-1, from, to, pass); // 首先将n-1个盘子移动到B柱上。printf("%d: %c-->%c\n", n, from, to); // 将第n个盘子移动到C柱上。reHanoi(n-1, pass, from, to); // 最后将n-1个盘子移动到C柱上。return;
}

二、汉诺塔的非递归实现：

1.借助栈实现汉诺塔的非递归形式：
在reHanoi(n-1, from, to, pass)进入递归前，我们需要保留调用现场，将参数入栈，使用新的参数调用reHanoi函数。在此过程中需要一直进行入栈操作，直到参数n ==0为止。对此行为，我们可以用一个循环来模拟。在eHanoi(n-1, pass, from, to)函数前，我们要完成当前最后一个盘子的移动操作，再产生新的参数，跳转到func语句执行;

//伪代码：
func: while (n > 0 || !stack.empty())int i = n;while (i != 0) {push(i);i --;}int curNum= pop();if(curNum == 0){continue;}printfElem(curNum);n = curNum;n --;  push(n);}

# 源代码
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <cmath>using namespace std;typedef struct elemHanoi{ //定义汉诺一的结构体int num; //层数即编号char from; //起始位置char pass; //借助位置char to; //终点位置
}elemHanoi;void oneNotReHan(elemHanoi);
elemHanoi getElem(int n, char from, char pass, char to);
void printElem(elemHanoi elem);int main(){int n;printf("please input the number of Hanoi: ");scanf("%d", &n);elemHanoi elem = {n, 'a', 'b', 'c'};oneNotReHan(elem);return 0;
}elemHanoi getElem(int n, char from, char pass, char to){elemHanoi elem = {n, from, pass, to};return elem;
}void printElem(elemHanoi elem){printf("%d from %c throught %c to %c\n", elem.num, elem.from, elem.pass, elem.to);return;
}void oneNotReHan(elemHanoi elem){ //汉诺一塔非递归实现,借助栈(参考树的中序遍历)。elemHanoi tempElem = elem;int number;stack<elemHanoi> myStack;myStack.push(elem);while(tempElem.num > 0 || !myStack.empty()){while(tempElem.num > 0){ //在遍历过程中要判断是否还需要继续往下递归。tempElem = getElem(tempElem.num-1, tempElem.from, tempElem.to, tempElem.pass);myStack.push(tempElem);}if(!myStack.empty()){ //tempElem = myStack.top(); //获取到当前栈顶元素myStack.pop();//如果当前是最终过程的下一个过程(即当前的num=0，表示终止标志),则需要跳过下面步骤。if(tempElem.num == 0){continue;}printf("%d: %c-->%c\n", tempElem.num, tempElem.from, tempElem.to);//创建reHanoi(n-1, pass, from, to)的过程并加入到栈顶。tempElem = getElem(tempElem.num-1, tempElem.pass, tempElem.from, tempElem.to);myStack.push(tempElem);}}return;
}

2.借鉴满二叉树实现汉诺塔的非递归形式：
对于汉诺塔的步骤，我们其实可以看作对一个满二叉树的中序遍历，从上往下分别为第1层（4号盘），第2层（3号盘），第3层（2号盘），第4层（1号盘）。关于本方法的详细介绍请参看文献，链接在文章末尾。

在n=4时我们其实可以明显的看出，第4层（即最下层）满足AB 、BC、CA的循环。
总而言之，奇数层的移动规律为AC、CB、BA , 而偶数层的移动规律为AB 、BC、CA的循环。

#include <cstdio>
#include <stack>
#include <cmath>using namespace std;void twoNotReHan(int n);int main(){int n;printf("please input the number of Hanoi: ");scanf("%d", &n);twoNotReHan(n);return 0;
}//奇数的圆盘的移动规律为AC、CB、BA 的循环。
//序号为偶数的圆盘的移动规律为AB 、BC、CA的循环。
//每一层的移动顺序满足上述要求，从上往下以1开始标记层数， 每一层的模三顺序都是1->0->2->1...。
void twoNotReHan(int n){if(n < 1){return;}int sum = pow(2, n);int index = 1;while(index < sum){int floor = 1;int number = index;while(number%2 == 0){//计算层数保证来得到从下往上数第几层, n-floor+1 就可以的到从上往下的层数。floor+=1;number/=2;}if ((n - floor + 1)%2==1) {//奇数层switch(number%3){case 0: printf("%d: C-->B\n", floor); break;case 1: printf("%d: A-->C\n", floor); break;case 2: printf("%d: B-->A\n", floor); break;}}else{//偶数层switch(number%3){case 0: printf("%d: B-->C\n", floor); break;case 1: printf("%d: A-->B\n", floor); break;case 2: printf("%d: C-->B\n", floor); break;}}index++;}return;
}

1、参考文章：汉诺塔问题的非递归实现
2、参考文献：谭罗生，吴福英，黄明和. Hanoi塔问题的解模型[J]. 计算机应用与软件,2004,21(10):49-51.