这是我在csdn上的第一篇原创博客，下定决心要写它的原因其实很简单，我之前在学习常微分方程时，竟然在偌大的互联网上都找不到详细的刘维尔公式的证明，还发现了有网友回答“同学，你是zju的吧”这类的令人啼笑皆非的话语。好了，言归正传，以下就是我对刘维尔公式的一些思考，如有错误，欢迎指正。

首先来看一下方道远编写的《常微分方程》（浙江大学出版社）里面是怎么证明的：

由于我线性代数学的不好，所以我看了半天才看懂他说的“利用行列式的性质容易证明”是怎么做到的，这里需要线性代数的几个知识点：

①对n阶行列式函数求导等于分别对n行（或者n列）求导然后再求和；

②行列式的某一行（列）乘上一个数再加到令一行（列）后行列式的值不变；

③行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来；

④若一个行列式中有两行的对应元素（指列标相同的元素）相同，则这个行列式为零。

我把具体的步骤放在下一张图片里。（在展开后的行列式中以第一个为例，只需把第2，3，4，...，n行分别乘以负的a12，a13，a14，...，a1n然后再与第一行相加即可得到a11倍的Wronsky行列式，剩下的类似）

事实上，liouville公式还能根据二阶线性微分方程的一个已知解求出另外的一个线性无关解。具体说明见下图（出自方道远编写的《常微分方程》）：

这件事情看上去很神奇：怎么就可以根据方程的一个特殊解经过一顿操作就能得到另外一个线性无关解呢？其实这个也是可以理解的，如果方程的一个解已经知道了，那么这个方程的基本性质也就了解的差不多了，另一个解的基本形式也大概可以猜出来了。
       目前想说的只有这么多，以后要是有新发现还会继续补充。

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