几种距离公式的总结思考

2024-06-11 11:21:16

几种距离公式的总结思考

@(微积分)

常用的有：

点到平面的距离公式
点到直线距离公式
异面直线距离公式

点到平面的距离公式

点(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)到平面Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D = 0的距离。

d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

思考过程：点A(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)在面外，不妨设面上一点P(x1,y1,z1)(x_1,y_1,z_1)那么P满足平面方程：Ax1+By1+Cz1+D=0Ax_1+By_1+Cz_1+D = 0

想象PA和法向量构成的直角三角形，则d=|PA|cosα,cosα=PA−→⋅n→|PA−→||n→|d = |PA|cos\alpha,cos\alpha = \frac{\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow n}{|\overrightarrow {PA} | |\overrightarrow n|}

PA−→⋅n→=(x0−x1,y0−y1,z0−z1),n→=(A,B,C)\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow n = (x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1), \overrightarrow n = (A,B,C)

从而，

d=|PA|cosα=(x0−x1,y0−y1,z0−z1)⋅(A,B,C)A2+B2+C2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=|Ax0+By0+Cz0−(Ax1+By1+Cz1)|A2+B2+C2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

d = |PA|cos\alpha = \frac{(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)\cdot (A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0 - (Ax_1+By_1+Cz_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0 +D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\

点到直线距离公式

点(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)到直线x−x1l=y−y1m=z−z1n\frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}

距离d=|(x1−x0,y1−y0,z1−z0)×(l.m,n)|l2+m2+n2√d = \frac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times (l.m,n)|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}

就是在线外的点与线上点连线形成的向量，与直线方向形成的平行四边形。以方向向量为底，则距离为高。分子是面积，分母是底边长。

异面直线间距离

核心思路是两条异面直线的方向向量与两条线上的两点连线形成的向量三者进行混合积，模长为平行六面体的体积。再两个方向向量的叉积的模是底面的面积，那么体积除以面积，得到的就是高。

设直线L1和L2的方向向量分别为s1=(l1,m1,n1),s2=(l2,m2,n2)s_1 = (l_1,m_1,n_1), s_2 = (l_2,m_2,n_2), 点A∈L1,B∈L2A\in L_1,B\in L_2,则L1,L2L_1,L_2之间的距离为：

d=|s1s2AB−→||s1×s2|d = \frac{|s_1s_2\overrightarrow {AB}|}{|s_1\times s_2|}

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