引言

在【MATLAB数据分析】01数据的均值、变异度、偏度和峰度一文中我们介绍了均值、方差、标准差等数字特征，它们都是总体相应特征值的一种矩估计，更适合来自正态分布的数据的分析。但若总体的分布未知，或者数据严重偏态，有若干异常数据（极端值），则上述的分析方法不太合适，这时候可以利用本文介绍的中位数、分位数、三均值等数据特征计算。本文还给出了MATLAB计算的函数。、

文章目录

引言
1 中位数
- 1.1 样本均值
- 1.2 MATLAB编程-中位数
2 分位数
- 2.1 上四分位数、下四分位数、四分位极差、三均值、上截断点、下截断点
- 2.2 MATLAB编程-上四分位数、下四分位数、四分位极差、三均值、上截断点、下截断点

设 n n n个观测值构成行向量 x \mathbf{x} x

x = [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] \mathbf{x}=[x_1, x_2, \cdots, x_n] x=[x1,x2,⋯,xn]

其中 n n n是样本容量。它是来自某总体的样本，数值从小到大重新排列为：

x ( 1 ) , x ( 2 ) , ⋯ , x ( n ) x_{(1)},x_{(2)},\cdots,x_{(n)} x(1),x(2),⋯,x(n)

这就是次序统计量，显然，最小次序统计量 x ( 1 ) x_{(1)} x(1)与最大次序统计量 x ( n ) x_{(n)} x(n)分别为：

x ( 1 ) = m i n 1 ≤ i ≤ n x ( i ) , x ( n ) = m a x 1 ≤ i ≤ n x ( i ) x_{(1)}=\underset{1\le i\le n}{min}x_{(i)},\quad x_{(n)}=\underset{1\le i\le n}{max}x_{(i)} x(1)=1≤i≤nminx(i),x(n)=1≤i≤nmaxx(i)

1 中位数

1.1 样本均值

中位数的计算公式为：

M = { x ( n + 1 2 ) , n 为奇数 1 2 ( x ( n 2 ) + x ( n + 1 2 ) ) , n 为偶数 M=\left\{\begin{matrix} x_{(\frac{n+1}{2})},\quad\quad\quad\quad &n为奇数 \\ \frac{1}{2}(x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n+1}{2})}),&n为偶数 \end{matrix}\right. M={x(2n+1),21(x(2n)+x(2n+1)),n为奇数n为偶数

中位数是描述数据中心位置的数字特征，大体上比中位数大或小的数据个数为整个数据个数的一半。对于对称分布的数据，均值与中位数较接近，对于偏态分布的数据，均值与中位数不同。中位数的另一显著特点是不受个别极端数据变化的影响，具有较好的稳定性。

1.2 MATLAB编程-中位数

计算中位数使用的是函数median

xmed=median(x);

也可以使用函数prctile,计算 1 / 2 1/2 1/2分位数，第二个参数为50。

x50=prctile(x,50);

代码中x50和xmed都表示中位数，只是使用函数不同，书写不同以示区分。

2 分位数

2.1 上四分位数、下四分位数、四分位极差、三均值、上截断点、下截断点

对 0 ≤ p < 1 0\le p<1 0≤p<1和容量为 n n n的样本 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn，它的 p p p分位数（又叫100 p p p百分数）为：

M p = { x [ n p + 1 ] , n p 不是整数 1 2 ( x ( n p ) + x ( n p + 1 ) ) , n p 是整数 M_p=\left\{\begin{matrix} x_{[np+1]},\quad\quad\quad\quad\quad &\quad np不是整数 \\ \frac{1}{2}(x_{(np)}+x_{(np+1)}),&np是整数 \end{matrix}\right. Mp={x[np+1],21(x(np)+x(np+1)),np不是整数np是整数

其中 [ n p ] [np] [np]表示 n p np np的整数部分，当 p = 1 p=1 p=1时，定义 M 1 = x ( n ) M_1=x_{(n)} M1=x(n)。大体上整个样本的 100 p 100p% 100p的观测值不超过 p p p分位数。0.5分位数 M 0.5 M_{0.5} M0.5（第50百分位数）就是中位数。实际应用中，0.75分位数和0.25分位数比较重要，分别记作上、下四分位数，记作：

Q 3 = M 0.75 , Q 1 = M 0.25 Q_3=M_{0.75},\quad Q_1=M_{0.25} Q3=M0.75,Q1=M0.25

上、下四分位数之差称为四分位极差（或半极差），表示为：

R 1 = Q 3 − Q 1 R_1=Q_3-Q_1 R1=Q3−Q1

它也是度量样本分散性的重要数字特征，尤其对于具有异常值的数据，它作为分散性的度量具有稳健性，因此它在稳健型数据分析中具有重要作用。

当样本 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn是来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)时，其总体上、下四分位数为：

ξ 0.75 = μ + 0.6745 σ ξ 0.25 = μ − 0.6745 σ \xi_{0.75}=\mu+0.6745\sigma\\ \xi_{0.25}=\mu-0.6745\sigma ξ0.75=μ+0.6745σξ0.25=μ−0.6745σ

故其总体四分位极差为：

r 1 = ξ 0.75 − ξ 0.25 = 1.349 σ r_1=\xi_{0.75}-\xi_{0.25}=1.349\sigma r1=ξ0.75−ξ0.25=1.349σ

也即：

σ = r 1 1.349 \sigma=\frac{r_1}{1.349} σ=1.349r1

当样本存在异常值时，标准差 s s s缺乏稳健性。根据上面的讨论，可以得到总体标准差 s s s的一个具有稳健性的估计：

σ ^ = R 1 1.349 \hat{\sigma} =\frac{R_1}{1.349} σ^=1.349R1

它称为四分位标准差。对于任意观测数据 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn， σ ^ \hat{\sigma} σ^可以作为数据分散性的稳健度量。

我们知道，均值 x ‾ \overline{x} x和中位数 M M M都是描述数据集中位置的数字特征。计算 x ‾ \overline{x} x时，用了样本 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn的全部信息，而 M M M只是用了数据分布中的部分信息，因此在正常情况下，用 x ‾ \overline{x} x比用 M M M描述数据的集中位置更优，但当数据存在异常值， x ‾ \overline{x} x缺乏稳健性，这时可用三均值 M ^ \hat{M} M^作为数据集中位置的数字特征。三均值 M ^ \hat{M} M^的计算公式为：

M ^ = 1 4 Q 1 + 1 2 M + 1 4 Q 3 \hat{M}=\frac{1}{4}Q_1+\frac{1}{2}M+\frac{1}{4}Q_3 M^=41Q1+21M+41Q3

在探索性数据分析中，有一种判断数据为异常值的简便方法。称 Q 1 − 1.5 R 1 Q_1-1.5R_1 Q1−1.5R1和 Q 3 + 1.5 R 1 Q_3+1.5R_1 Q3+1.5R1为数据的下、上截断点。大于上截断点的数据为特大值，小于下截断点的数据为特小值，两者都为异常值。

当总体为正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)时，理论上、下截断点分别为：

ξ 0.75 + 1.5 r 1 = μ + 2.698 σ ξ 0.25 − 1.5 r 1 = μ − 2.698 σ \xi_{0.75}+1.5r_1=\mu+2.698\sigma\\ \xi_{0.25}-1.5r_1=\mu-2.698\sigma ξ0.75+1.5r1=μ+2.698σξ0.25−1.5r1=μ−2.698σ

数据落在上、下截断点之外的概率为0.00698，即对于容量较大的样本，其异常值的概率约为0.00698，由模拟研究，对容量为 n n n的正态样本，异常值的平均比率近似为0.00698+ 0.4 n \frac{0.4}{n} n0.4。

2.2 MATLAB编程-上四分位数、下四分位数、四分位极差、三均值、上截断点、下截断点

计算上四分位数和下四分位数用的是函数prctile,函数的第二个参数分别为75和25。

x75=prctile(x,75);%上四分位数
x25=prctile(x,25);%下四分位数

计算四分位极差根据定义来，利用上面得到的上四分位数和下四分位数：

xr1=x75-x25;%四分位极差

计算三均值根据定义计算：

xhM=0.25*x25+0.5*x50+0.25*x75;%三均值

计算上截断点和下截断点根据定义计算:

xsj=x75+1.5*xr1;%上截断点
xij=x25-1.5*xr1;%下截断点

最后用一张图说明所有：

参考资料
[1]王岩，隋思涟. 试验设计与MATLA数据分析[M]. 第一版. 北京:清华大学出版社,2012:10-14

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