我们已经达到了初中数学水平，会做整数和分数的算术，会算各种规则图形的面积和体积，能够尺规作图，证明勾股定理和三角形相似，认识圆锥曲线，列解一元二次和二元一次代数方程，知道高次方程根与系数的关系，会查表计算三角函数和对数，还知道虚数和坐标系。数学的基础铺垫工作已然完成，这时一大波难题来了，是大神们登场的时候了。

1608年，伽利略制成了第一架望远镜，引起了天文学的新高涨，并推动了光学的研究。1619年，开普勒根据天文观察数据总结出行星运动三大定律，那么，从数学上，什么样的力作用下的运动能产出椭圆轨道呢？诸如此类的问题还有很多，初等数学捉襟见肘了。

1.已知长方形面积是长与宽的成就，那么如何计算圆的面积呢？其他对称曲线呢？如圆锥曲线？又如何计算出旋转体体积呢？如球？（开普勒的小圆锥）

2.如何比较两个立体的体积呢，如对于两个等高的立体；如果它们的平行于底面且离开地面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间是什么关系？（卡瓦列里的不可分量）

3.如何用坐标表示坐标平面上的直线，圆以及圆锥曲线？如何表示一般曲线的切线？对于三维情形呢，空间直线，空间曲面，如球面，以及法线？（笛卡尔的解析几何）

4.如何求出一个代数式子的极大值和极小值？（费马的极值）

5.如何求出一条曲线在一点处的切线？（巴罗的微分三角形）

6.如何确定非匀速运动物体的速度和加速度，比如行星的椭圆运动？（瞬时变化率）

7.如何设计更好的望远镜（透镜曲面是什么面，以及透镜的排布）

8.炮弹的最大射程(角度)以及寻求行星轨道的近日点和远日点（极值）

9.行星沿轨道运动的路程（曲线长）

10.行星矢径扫过的面积（椭圆面积）

任何一个问题的解决足以在数学史上留名，而系统的解决则是数学的重大变革。这便是初等数学向变量数学的过渡，这是发生在350年前的事情了——微积分的发明。

牛顿和莱布尼茨先后独立发明了微积分。

得益于其老师巴罗的引导，1665年夏到1667年春，艾萨克·牛顿(1642-1727)在家乡躲避瘟疫期间，对微积分的探讨取得了突破性的进展。并整理成手稿《流数简论》，但他自知其计算过程过于疏漏，前后矛盾，因此迟迟没有发表，直到1967年才被整理出版，其他关于微积分的有1669年的《分析》（1771年出版），1671年的《流数法》（1736年出版），以及1693年的《求积术》（在1704年作为《光学》一书的附录正式发表，并在这里提出所谓“首末比法”）。牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分）。所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，它们之间可以建立方程，比如2x2+y=0；“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作x`等。流数瞬是流数的无限小增量，与流数（速度）成正比，写作x`o等。在已知流量间的方程后，比如2x2+y=0，需要计算流数大小时，只需将流量和流数瞬的和（x+ x`o,y+ y`o等）代入方程，略去o的高次方项， 便得到流数间的关系，即变化率。

牛顿微积分学说最早的公开表述是1687年的力学名著《自然哲学的数学原理》。《原理) 中的微积分命题采用了几何形式来叙述、证明，这使他的流数术显得僵硬呆板，固守牛顿的几何形式使得英国数学陷入巨大的泥潭，几乎停滞一百年，从而被欧洲大陆的数学远远抛开。

1684年，莱布尼兹（1646-1716）发表了数学史上第一篇正式的微积分文献 《一种求极限值和切线的新方法》。这篇文献是他自 1673 年以来的微积分研究的概括性成果，其中广泛地采用了微分符号dx、dy, 还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。同时包括了微分法在求切线、极大、极小值及拐点方面的应用。两年后, 他又发表了一篇积分学论文《深奥的几何与不变量及其无限的分析》, 其中首次使用积分符号（sum的首字母拉长），初步论述了积分（或求积）与微分（求切线）问题的互逆关系,对他以往的研究作了初步整理, 叙述了微分学的基本原理, 认为函数的无限小增量是自变量无限小变化的结果,且把这个函数的增量叫做微分。莱布尼茨将微分看成是无限小之差（拉丁词differntia），而积分则是微分的累加（积分号便是sum的简写s的拉长），由此构成了微积分推演和应用的数学基础，形成了第一代微积分原理。

莱布尼茨的学说被其学生尤其是雅各·伯努利和约翰·伯努利兄弟推广发展，形成了现今初等微积分的大部分内容。其后，伯努利的学生欧拉（1707-1783）将莱布尼茨的微分发展为无限小的不同阶零的理论（1748年《无限小分析引论》）：与有限量Δx相比，无限小量dx成为零，同时，一个无限小量dx2与dx相比也将成为零，因此，像通常的幂一样，我们称dx为一阶无穷小，dx2为二阶无穷小，dx3为三阶无穷小，显然，高阶无限小相对于一阶无限小而言将成为零。

1734年，贝克莱发表了著名的小册子《分析学家》，以形而上学的思维批评牛顿的流数和莱布尼茨的微分，认为无限小既不是有限量，又不是零，既可以做分母，又可以忽略不计，概念不清，不能理解。

可惜的是，面对一个神学家的评论，人们没有接受大数学家欧拉的思想，而是从其他角度探索微积分的基础。

欧拉的学生拉格朗日（1736-1813）在1797年出版的《解析函数论》中，从幂级数角度出发，他假定任一函数f(x+i)都可以表成幂级数形式，而其系数便在形式上定义了f(x)的各阶导数。

而达朗贝尔（1717～1783）发展了牛顿的“首末比方法”，用极限概念代替了牛顿含糊的“最初”和“最终”比，认为导数是差分比的极限。

这一观点被拉格朗日的学生柯西(1789-1857)所继承，1821年，柯西出版了《分析教程》，1823年，又出版了《无限小计算教程概论》。这两部著作建立了极限理论，并以此为工具建立了全新的第二代微积分原理，由此发展出现行微积分原理的基本思想，即以极限定义导数和定积分，并将反导数取名不定积分，通过牛顿-莱布尼茨公式辅助定积分的运算。以这两部划时代的著作为标志，微积分演化史进入了第二个历史阶段。之后维尔斯特拉斯发明ε-δ语言定义极限，便是我们现在所看到的体系，称之为标准分析。

H.Lebesgue(1875-1941)用G.Cantor(1845-1918)的集合论尝试解决怪异函数的可积性问题，并建立了Lebesgue积分，其标志是其1902年撰写的博士论文《积分、长度和面积》。并且依此，相继建立了实变函数和现代分析，自此，数学界公认并宣布微积分理论完善。