面试题36:数组中的逆序对
题目:在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数。例如,有一个数组为Array[0..n] 其中有元素a[i],a[j].如果 当i<j时,a[i]>a[j],那么我们就称(a[i],a[j])为一个逆序对。在数组{7,5,6,4}中一共存在5对逆序对,分别是(7,6),(7,5),(7,4),(6,4),(5,4)。
参考文献
排序算法汇总->归并排序
解题思路
看到这样的题目,最简单的想法就是遍历每一个元素,让其与后面的元素对比,如果大于则count++,但是这样的时间复杂度是o(n2)。这题有更好的解决方法,时间复杂度只需要o(nlogn)。其实这道题目的思路跟归并排序差不多,求逆序对的过程就是一个求归并排序的过程,在求出逆序对以后,原数组变得有序,是通过归并排序得到的。
(1)总体的意思就是将数组分成两段,首先求段内的逆序对数量,比如下面两段代码就是求左右两端数组段内的逆序对数量
inversions+=InversePairsCore(arry,start,mid,temp);//找左半段的逆序对数目 inversions+=InversePairsCore(arry,mid+1,end,temp);//找右半段的逆序对数目
(2)然后求段间的逆序对数量,如下面的代码
inversions+=MergeArray(arry,start,mid,end,temp);//在找完左右半段逆序对以后两段数组有序,然后找两段之间的逆序对。最小的逆序段只有一个元素。
(3)然后在求段间逆序对的时候,我们分为arry[start...mid]和arry[mid+1...end],然后设置两个指针ij分别指向两段数组的末尾元素,也就是i=mid,j=end。然后比较arry[i]和arry[j],
- 如果arry[i]>arry[j],因为两段数组都是有序的,所以arry[i]>arry[mid+1...j],这些都是逆序对,我们统计出的逆序对为j-(mid+1)+1=j-mid。并且将大数arry[i]放入临时数组temp[]当中,i往前移动
- 如果arry[i]<arry[j],则将大数arry[j]放入temp[]中,j往前移。
完整实现代码
#include<iostream> #include<stdlib.h> using namespace std;void printArray(int arry[],int len) {for(int i=0;i<len;i++)cout<<arry[i]<<" ";cout<<endl; } int MergeArray(int arry[],int start,int mid,int end,int temp[])//数组的归并操作 {//int leftLen=mid-start+1;//arry[start...mid]左半段长度//int rightLlen=end-mid;//arry[mid+1...end]右半段长度int i=mid;int j=end;int k=0;//临时数组末尾坐标int count=0;//设定两个指针ij分别指向两段有序数组的头元素,将小的那一个放入到临时数组中去。while(i>=start&&j>mid){if(arry[i]>arry[j]){temp[k++]=arry[i--];//从临时数组的最后一个位置开始排序count+=j-mid;//因为arry[mid+1...j...end]是有序的,如果arry[i]>arry[j],那么也大于arry[j]之前的元素,从a[mid+1...j]一共有j-(mid+1)+1=j-mid }else{temp[k++]=arry[j--];}}cout<<"调用MergeArray时的count:"<<count<<endl;while(i>=start)//表示前半段数组中还有元素未放入临时数组 {temp[k++]=arry[i--];}while(j>mid){temp[k++]=arry[j--];}//将临时数组中的元素写回到原数组当中去。for(i=0;i<k;i++)arry[end-i]=temp[i];printArray(arry,8);//输出进过一次归并以后的数组,用于理解整体过程return count;}int InversePairsCore(int arry[],int start,int end,int temp[]) {int inversions = 0; if(start<end){int mid=(start+end)/2;inversions+=InversePairsCore(arry,start,mid,temp);//找左半段的逆序对数目inversions+=InversePairsCore(arry,mid+1,end,temp);//找右半段的逆序对数目inversions+=MergeArray(arry,start,mid,end,temp);//在找完左右半段逆序对以后两段数组有序,然后找两段之间的逆序对。最小的逆序段只有一个元素。 } return inversions; }int InversePairs(int arry[],int len) {int *temp=new int[len];int count=InversePairsCore(arry,0,len-1,temp);delete[] temp;return count; }void main() {//int arry[]={7,5,6,4};int arry[]={1,3,7,8,2,4,6,5};int len=sizeof(arry)/sizeof(int);//printArray(arry,len);int count=InversePairs(arry,len);//printArray(arry,len);//cout<<count<<endl;system("pause"); }
输出结果:
调用MergeArray时的count:0 1 3 7 8 2 4 6 5 调用MergeArray时的count:0 1 3 7 8 2 4 6 5 调用MergeArray时的count:0 1 3 7 8 2 4 6 5 调用MergeArray时的count:0 1 3 7 8 2 4 6 5 调用MergeArray时的count:1//这是因为上面65之间有段内的逆序对 1 3 7 8 2 4 5 6 调用MergeArray时的count:0 1 3 7 8 2 4 5 6 调用MergeArray时的count:9//这里全部都是段间的逆序对,(3,2),(7,2),(7,4),(7,5),(7,6),(8,2),(8,4),(8,5),(8,6),一共有九个 1 2 3 4 5 6 7 8 逆序对数量:10
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