卡尔曼滤波器实例：进一步讨论自由落体运动

上一篇中，我们使用向量[0 0 0]^T作为系统的初始状态，并且使用$\infty$作为初始状态误差的方差，也就是假定物体的初始位置、初始速度、加速度都是未知的，所有的状态信息都通过Radar的测量结果估计出来。但实际上，物体的加速度是预先知道的（假定为标准重力加速度），因此，我们可以简化上一篇中的多项式，以得到更好的状态估计。

将物体的位置设为状态$x_1$：

$x_1=s_0-v_0t-\frac{1}{2}gt^2$
$\frac{dx_1}{dt}=x_2=-v_0t-gt$
$\frac{dx_2}{dt}=-g$

上一篇中，我们暂时“忘记了”g的数值，因此$\frac{dx_2}{dt}$仍然是一个需要估计的系统状态，需要继续微分。而此处，$\frac{dx_2}{dt}$是已知的，因此我们到此就可以写状态方程了：

$\left[ \begin{matrix} \frac{dx_1}{dt} \\ \frac{dx_2}{dt} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0&1 \\ 0&0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 0\\-1 \end{matrix} \right]g$

将这个矩阵和如下标准状态矩阵对比：

$\mathbf{\dot{x}}=\mathbf{Fx}+\mathbf{Gu}+\mathbf{w}$

可得：

$\mathbf{F}=\left[ \begin{matrix} 0&1 \\ 0&0 \end{matrix} \right]$

$\mathbf{G}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \end{matrix} \right]$

$\mathbf{u}=g$

将连续时间状态模型转换到离散时间：

$\boldsymbol{\Phi}_k=\left[ \begin{matrix} 1&T_s\\0&1 \end{matrix} \right]$

$\mathbf{G}_k=\int_0^{T_s}\boldsymbol{\Phi}(\tau)\mathbf{G}d\tau=\int_0^{T_s}\left[ \begin{matrix} 1&\tau \\ 0&1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0\\-1 \end{matrix} \right]d\tau=\left[ \begin{matrix} -\frac{T_s^2}{2} \\ -T_s \end{matrix} \right]$

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