前言：

和秩一样，矩阵的特征值和特征向量都是矩阵的重要性质。本节，我们研究矩阵的特征值和特征向量的定义和求法。

特征值，特征向量的概念，后面用于相似矩阵，而相似矩阵被用于将矩阵化为对角阵，从而，可以简化矩阵的计算。

1 矩阵的特征值和特征向量

一个是非零向量X，一个是数

如果满足上诉条件，就被称为矩阵的特征值和相应的特征向量。

2 特征值向量的求法：

从定义出发：

由于矩阵和数是不能进行计算的，这里常数λ需要乘以一个单位I【也可以写成E】阵然后进行计算。

这里就是一个齐次线性方程了，X是N维度非零向量。

【含了我们研究的矩阵，记住，我们的主要目的是研究矩阵】

那么，上面齐次线性方程的非零解，就是特征值对应的向量是矩阵的特征向量。

那么，

又因为，是非零解，那么这个齐次线性方程的向量的系数矩阵的秩

应该小于未知数向量的个数。

而，秩就是齐次线性方程的系数矩阵的非零子式的阶数。

也就是，系数矩阵的非零子式的阶数<未知数向量的个数

【因为是齐次方程，未知数的系数矩阵如果不为0，那就是会有某个行上对应的非零未知数（已知条件是非零）的非零系数的方程的计算结果为0了，这是矛盾的。】

另外：【齐次线性方程组有非零解的充分必要条件就是未知数的系数】

总之，

这样有两个充分必要结论：

该方程为特征方程
满足上述系数行列式为0的方程【特征方程】的数λ为特征值
由特征值λ和这个齐次线性方程【特征方程】解出的非零向量解，为A对应λ的特征向量。

X2是自由变量，令X2=1

X1 + 0 = 0 ,X1 =0,那么基础解系是，[0,1]

【案，笔者计算为1,0，不过0,1只需要行变换一下】

已经是阶梯阵

那么，右边的未知数为自由变量，也就是X2,

令X2=1,

-X1+X2 =0,X2=1,X1=1

那么基础解系是【1,1】

又因为是非零解，C不等于0

A如果有特征值，和特征向量，那么，已经定义，满足：

也就是，

上面这个就是先把λ乘以单位阵Ｉ，然后，再进行初等行运算，

按第一列展开

这样求出特征向量，

代入，然后，进行初等行变换，化为阶梯阵

自由变量选取，

阶梯阵上的变量不能选，那么只能选他两边的变量

也就是X1,X3

【重要结论】

相加为迹【A的对角数的和】，相乘为行列式的值，就是韦达定理。

A和A逆的特征值的关系是倒数关系，所以，直接写出了。

然后，我们研究A逆 +Ｉ的关系，

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