牛顿二项式定理

二项式定理

对于一个这样的式子:(x+y)n(x+y)^n(x+y)n

展开式如下:

(x+y)n=∑i=0n(in)xn−iyi(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{(^n_i)x^{n-i}y^{i}}(x+y)n=i=0∑n(in)xn−iyi

其中(in)=n(n−1)...(n−i+1)i!(^n_i)=\frac{n(n-1)...(n-i+1)}{i!}(in)=i!n(n−1)...(n−i+1)

牛顿二项式定理

牛顿二项式定理是对二项式定理的扩展,通过牛顿二项式定理可以得到(x+y)α(x+y)^\alpha(x+y)α

的展开式，其中α\alphaα是任意实数。

设α\alphaα为任意实数,x,yx,yx,y满足0≤∣x∣<∣y∣0 \leq |x| < |y|0≤∣x∣<∣y∣,有

(x+y)α=∑k=0∞(kα)xkyα−k(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^\alpha_k)x^{k}y^{\alpha-k}}(x+y)α=k=0∑∞(kα)xkyα−k

设z=x/y,∣z∣<1z=x/y,|z| < 1z=x/y,∣z∣<1,那么(x+y)α=yα(1+z)α(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}(x+y)α=yα(1+z)α,那么等价于求

(1+z)α(1+z)^{\alpha}(1+z)α即可。

(1+z)α=∑k=0∞(kα)zk(1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^{\alpha}_k)z^{k}}(1+z)α=k=0∑∞(kα)zk

设nnn为正整数，我们用−n-n−n代替α\alphaα,有

(ka)=(k−n)=−n(−n−1)...(−n−k+1)k!=(−1)k(kn+k−1)(^{a}_{k})=(^{-n}_{k})=\frac{-n(-n-1)...(-n-k+1)}{k!}=(-1)^k(^{n+k-1}_{k})(ka)=(k−n)=k!−n(−n−1)...(−n−k+1)=(−1)k(kn+k−1)

因此，对于∣z∣<1|z|<1∣z∣<1有:

(1+z)−n=1(1+z)n=∑k=0∞(−1)k(kn+k−1)zk(1+z)^{-n}=\frac{1}{(1+z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k(^{n+k-1}_k)z^{k}}(1+z)−n=(1+z)n1=k=0∑∞(−1)k(kn+k−1)zk

用−z-z−z代替zzz得:
(1−z)−n=1(1−z)n=∑k=0∞(kn+k−1)zk(1-z)^{-n}=\frac{1}{(1-z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^{n+k-1}_k)z^{k}}(1−z)−n=(1−z)n1=k=0∑∞(kn+k−1)zk

若n=1n=1n=1得:

(1+z)−1=1(1+z)=∑k=0∞(−1)kzk(1+z)^{-1}=\frac{1}{(1+z)}=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^kz^{k}}(1+z)−1=(1+z)1=k=0∑∞(−1)kzk

(1−z)−1=1(1−z)=∑k=0∞zk(1-z)^{-1}=\frac{1}{(1-z)}=\sum_{k=0}^{\infty}{z^{k}}(1−z)−1=(1−z)1=k=0∑∞zk

利用这个式子我们就可以求任意精度的开根操作了。

例如求20\sqrt{20}20

20=4+16=(4+16)12=4(1+0.25)12\sqrt{20}=\sqrt{4+16}=(4+16)^{\frac{1}{2}}=4(1+0.25)^{\frac{1}{2}}20=4+16=(4+16)21=4(1+0.25)21

然后展开即可。

求20\sqrt{20}20的程序


/*******************************
Author:galaxy yr
LANG:C++
Created Time:2019年10月04日 星期五 16时15分42秒
*******************************/
#include<iostream>const int maxn=3005;
long double x,c[maxn][maxn];long double C(double a,double k)
{long double res=1;for(double i=a;i>=a-k+1;i--) res*=i;for(double i=1;i<=k;i++)res/=i;return res;
}long double solve()
{long double x=1.25,a=0.5,z=x-1;if(z<0)z=-z;long double s=1,ans=0;for(int k=0;k<=170;k++){ans+=C(a,k)*s;s*=z;}return 4*ans;
}int main()
{std::cout<<solve()<<std::endl;return 0;
}

牛顿二项式定理学习(广义二项式定理)相关推荐

bzoj3028 食物生成函数+广义二项式定理
首先我们有一些函数推收敛式的套路. (这些是知名伪证,结论是对的,但是证明过程是胡扯)比如对于y=1+x+x2y=1+x+x^2y=1+x+x2 ,我们知道xy=x+x2+x3xy=x+x^2+x^3 ...
生成函数（常见幂级数、广义二项式定理、生成函数的应用）
文章目录生成函数引言定义有关幂级数的有用事实形式幂级数幂级数的和.积广义二项式定理常见的生成函数使用生成函数解决计数问题不定方程的解的个数完全背包问题的方案数有顺序的背包问题的 ...
BZOj 3208 食物生成函数+广义二项式定理
曾经搞过几天的生成函数,也没做几道题,后来放弃了,今天讲了生成函数和背包问题的结合,趁着脑子清醒整理一下: 题目描述: 明明这次又要出去旅游了,和上次不同的是,他这次要去宇宙探险! 我们暂且不讨论他 ...
BZOJ 3028: 食物 [生成函数隔板法 | 广义二项式定理]
3028: 食物 Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 497 Solved: 331 [Submit][Status][Discuss] ...
bzoj 3028: 食物（母函数+广义二项式定理）
3028: 食物 Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 717 Solved: 502 [Submit][Status][Discuss] ...
广义二项式定理的系数的算法
今天晚自习的时候我又复习了一次二项式定理,在整理好思路之后就在想这个二项式系数怎么写,这里记录一下我写二项式系数是所有思路的历史最早的想法是用公式: Cnr=n!r!(n−r!)C_n^r=\fra ...
[BZOJ4001] [TJOI2015] 概率论 [期望计数] [卡特兰数打表 / 生成函数广义二项式定理]
[Link\frak{Link}Link] 预备结论们卡特兰数 Cn=(2nn)−(2nn±1)C_n={2n\choose n}-{2n\choose n\pm1}Cn=(n2n)−(n±12 ...
广义二项式定理求解系数
我可以确定估计我们整个班都不知道怎么算,但是我们想知道,老师不讲,问她,她说一项项展开,吐槽一下,这是一个只会吹牛逼的组合数学老师,还是个女的--我在算法分析里看到的--
2018 ICPC 青岛 L. Sub-cycle Graph（生成函数）
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划 L. Sub-cycle Graph Weblink https://zoj.pintia.cn/pr ...
bzoj3028 食物 (普通型生成函数)
Description 明明这次又要出去旅游了,和上次不同的是,他这次要去宇宙探险!我们暂且不讨论他有多么NC,他又幻想了他应该带一些什么东西.理所当然的,你当然要帮他计算携带N件物品的方案数.他这 ...

牛顿二项式定理学习(广义二项式定理)

牛顿二项式定理

二项式定理

牛顿二项式定理

牛顿二项式定理学习(广义二项式定理)相关推荐

最新文章

热门文章