Pollard-Rho 算法总结

预备知识

质因数分解；
生日悖论。

然后就愉快的开始吧。

Part.I 如何对一个大合数进行质因数分解

设有一个大合数N=p×q,(p≠q)N=p\times q,(p\not= q)N=p×q,(p=q)，那么我们可以用什么方法去把它分成两个数的乘积呢？

显然我们可以只找到ppp或者qqq，另一个用NNN去除一下就好了。

那么如何去找这个数？显然可以用暴力方法去找 (代码过于简单就不给了)。

显然这是要爆炸的。。。

Part.II 随机化？？？

考虑随机数？？？

显然这个复杂度瞬间达到了O(O(O(玄学)))。

但是这就是Pollard-Rho算法的可行基础。。。

Part.III 生日悖论？？？

先看一下这个问题

考虑从[1,1000][1,1000][1,1000]中选出一个数，要求恰好是424242，显然这个概率为11000\frac{1}{1000}10001。

那么我们要选两个数i,ji,ji,j使得i−j=42i-j=42i−j=42呢？算一下就可以发现这个概率大概是1500\frac{1}{500}5001。

那么我们要选出kkk个数x1,x2,…,xkx_1,x_2,\ldots,x_kx1,x2,…,xk使得xi−xj=42x_i-x_j=42xi−xj=42呢？

写个程序玩一下就会发现：选了100个数的概率居然非常接近111了。

这个被称为生日悖论

Part.IV 如何用生日悖论

多打打表就发现当我们选取k=Nk=\sqrt{N}k=N个数时，成功的概率已经超过了50%50\%50%。

换句话说，我们已经将找到质因数的概率从1N\frac{1}{N}N1提到了1N\sqrt{\frac{1}{N}}N1。这意味着我们对于一个101010^{10}1010级别的数，我们只需找到k=105k=10^5k=105个数。

但是，另一个不幸的消息是我们需要用k2k^2k2次除法和比较。这不是又炸了QAQ…

然而我们可以这样来做：对于一个xix_ixi，再随机构造一个xyx_yxy，求gcd⁡(∣xi−xy∣,N)\gcd(|x_i-x_y|,N)gcd(∣xi−xy∣,N)，可以发现，当这个gcd⁡(∣xi−xy∣,N)\gcd(|x_i-x_y|,N)gcd(∣xi−xy∣,N)不等于111时，我们就找到了一个质因子。

但直接存下这kkk个数似乎不太可能存进去。

Part.V 总算到了Pollard-Rho算法

Pollard-Rho算法的实现只存下了两个数。

我们一直往下生成两个数，每次只比较和检查这两个数，然后直到找到我们想要的数。

我们使用一个伪随机数算法来生成下一个数，设当前数数xxx，则我们的下一个数就是x2+amodNx^2+a\mod Nx2+amodN。

P.S.关于常数aaa，可以指定，也可以rand()一个。

Part.VI 还有问题？？？

如果你运气好的话，你总会遇到一些数，他们会让Pollard-Rho算法进入死循环。

如何解决？

有一种方法是开一个数组，然后不断标记。

然而数字很大的时候就要炸。。。

考虑这样一个问题：

你在操场上走，然而操场周围的景物都一样，那么你如何知道你已经走了一圈？

一个有效的方法是再找一个人不要问我怎么找到的，然后让他以你的两倍的速度向前走，当你和那个人相遇时，你就走完了一圈。

这样的话，我们就可以用两个变量x,yx,yx,y，初始值相同，每次进入循环时，令x=f(x),y=f(f(y))x=f(x),y=f(f(y))x=f(x),y=f(f(y))，每次只需检查gcd⁡(∣x−y∣,N)\gcd(|x-y|,N)gcd(∣x−y∣,N)即可。

模版

typedef long long ll;
const int pri[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};inline ll QuickMul(ll a,ll b,ll mod) {a%=mod,b%=mod;ll ret=0;while(b) {if(b&1)ret=(ret+a)%mod;a=(a+a)%mod;b>>=1;}return ret;
}
inline ll GCD(ll x,ll y) {return y==0?x:GCD(y,x%y);}
inline ll ABS(ll x) {return x<0?-x:x;}ll PollardRho(ll n) {for(int i=0;i<10;i++)if(n%pri[i]==0)return pri[i];ll x=(1LL*rand()*rand()%(n-2))+2;ll y=x;ll c=(1LL*rand()*rand()%(n-1))+1;ll d=1;while(d==1) {x=(QuickMul(x,x,n)+c+n)%n;y=(QuickMul(y,y,n)+c+n)%n;y=(QuickMul(y,y,n)+c+n)%n;d=GCD(ABS(x-y),n);if(d==n)return n;}return d;
}

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