学习线性代数的过程中我们会注意到解方程组的中有对系数矩阵进行加减消元化成行最简这个过程，而在学到特征向量这部分后，我们发现求特征向量也会有这一步。那么这两者有何区别呢？两者大体相同，不过在运算的技巧上有一些细微的差别：

解方程组的加减消元必须老老实实的，一步一步认真的加减消元。
求特征向量时的加减消元就有技巧了： 3 阶矩阵求特征向量时 3 个方程不要按部就班的加减消元，要学会偷懒，把一个方程直接写成三个零，用其中两个方程消元就够了。

下面我来分别举一个例子详加叙述。

解方程组

求如下方程组的基础解系和通解。

{5x1+7x2+2x3=03x1+5x2+6x3−4x4=04x1+5x2−2x3+3x4=0\begin{cases} 5x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 0 \\ 3x_1 + 5x_2 + 6x_3 - 4x_4 = 0 \\ 4x_1 + 5x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 0 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧5x1+7x2+2x3=03x1+5x2+6x3−4x4=04x1+5x2−2x3+3x4=0

分析：要解方程组就要对方程组做同解变形，要做同解变形就要对系数矩阵做初等行变换。

解：

将系数矩阵用高斯消元法化成行最简矩阵

A=[5720356−445−23]→underover[123−3016−50000]→underover[10−87016−50000]=记BA = \begin{bmatrix} 5 & 7 & 2 & 0 \\ 3 & 5 & 6 & -4 \\ 4 & 5 & -2 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow[under]{over} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow[under]{over} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -8 & 7 \\ 0 & 1 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xlongequal[]{记} B A=⎣⎡53475526−20−43⎦⎤overunder⎣⎡100210360−3−50⎦⎤overunder⎣⎡100010−8607−50⎦⎤记B

知，Ax=0Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0Bx=0 是同解方程组，且 r(A)=r(B)=2r(A)=r(B)=2r(A)=r(B)=2

由于 n−r(A)=4−2=2n-r(A)=4-2=2n−r(A)=4−2=2，故方程组 Ax=0Ax=0Ax=0 的基础解系由两个线性无关的解向量组成。其中，可取 x1,x2x_1, x_2x1,x2 为独立未知量，x3,x4x_3, x_4x3,x4 为自由未知量。

对 x3,x4x_3, x_4x3,x4 按 (1, 0) 及 (0, 1) 赋值，回代入方程，从而求得方程组的基础解系：

η1=[8,−6,1,0]T,η2=[−7,5,0,1]T\eta_1 = [8, -6, 1, 0]^T, \eta_2=[-7, 5, 0, 1]^T η1=[8,−6,1,0]T,η2=[−7,5,0,1]T

故同解是 k1η1+k2η2k_1\eta_1+k_2\eta_2k1η1+k2η2，其中 k1,k2k_1, k_2k1,k2 是任意常数。

求特征向量

求下列矩阵的特征值和特征向量。

A=[11−11−12−313]A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 3 \end{bmatrix} A=⎣⎡11−31−11−123⎦⎤

解：
由特征多项式

∣λE−A∣=∣λ−1−11−1λ+2−23−1λ−3∣=−r3−r1∣λ−404−λ−1λ+2−23−1λ−3∣=∣λ−400−1λ+2−23−1λ∣=(λ−4)(λ−1)(λ+3)=0\lvert \lambda E- A \rvert = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & 1 \\ -1 & \lambda+2 & -2 \\ 3 & -1 & \lambda-3 \end{vmatrix} \xlongequal[]{-r_3-r_1} \begin{vmatrix} \lambda-4 & 0 & 4-\lambda \\ -1 & \lambda+2 & -2 \\ 3 & -1 & \lambda-3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-4 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda+2 & -2 \\ 3 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda-4)(\lambda-1)(\lambda+3) = 0 ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣λ−1−13−1λ+2−11−2λ−3∣∣∣∣∣∣−r3−r1∣∣∣∣∣∣λ−4−130λ+2−14−λ−2λ−3∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣λ−4−130λ+2−10−2λ∣∣∣∣∣∣=(λ−4)(λ−1)(λ+3)=0

λ1=1,λ2=4,λ3=−3\lambda_1=1, \lambda_2=4, \lambda_3=-3 λ1=1,λ2=4,λ3=−3

当 λ=1\lambda=1λ=1 时，由 (E−A)x=0(E-A)x=0(E−A)x=0

[0−11−13−23−1−2]→[0−11−13−2000]→[1−3201−1000]→[10−101−1000]\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ⎣⎡0−13−13−11−2−2⎦⎤→⎣⎡0−10−1301−20⎦⎤→⎣⎡100−3102−10⎦⎤→⎣⎡100010−1−10⎦⎤

解得 α1=[1,1,1]T\alpha_1=[1,1,1]^Tα1=[1,1,1]T，全体特征向量是 k1α1,k1≠0k_1\alpha_1, k_1\neq0k1α1,k1=0

由于篇幅所限，这里我们只算一个特征值。

我们来看一下计算 (λE−A)x=0(\lambda E-A)x=0(λE−A)x=0 有什么技巧。

∣λE−A∣=0\lvert \lambda E-A \rvert = 0∣λE−A∣=0，即三阶行列式为 0，我们在其中又发现第一个二阶顺序主子式不为 0，即 E−AE-AE−A 的秩为 2。这说明系数矩阵经过若干次加减消元后，一定能把某行消为 0。所以我们把其中的一个方程，也就是系数矩阵的一行全部写成 3 个 0 就足够了。

那么把哪行写为 0 呢？我们注意到这个系数矩阵的任何两行都不成比例，所以任何两行都可以当作行向量的极大无关组，第三行可由这两行表示出来。因此，我们把其中任何一个方程写成三个零就可以了。当然为了计算简便，我们把第三个方程写成三个零。

需要注意的是，如果有两行成比例，我们只能从成比例的两行中选一行全写为 0。

在利用线性齐次方程 (λE−A)x=0(\lambda E-A)x=0(λE−A)x=0 求 AAA 的对应于特征值 λ\lambdaλ 的特征向量时，由于必有 ∣λE−A∣x=0\lvert \lambda E-A \rvert x = 0∣λE−A∣x=0，故 r(λE−A)<nr(\lambda E-A)<nr(λE−A)<n，λE−A\lambda E-AλE−A 的行向量组必线性相关，方程中至少有一个方程是多余的。我们把这些方程的系数全部写成 0 就可以大大简化我们的计算。

细心的同学可能还注意到一个细微的差别：解方程组中的基础解系的系数 k 是任意常数，而求特征向量时的全体特征向量的系数 k 是不为 0 的任意常数，有多个 k 时是不全为 0 的任意常数。这是因为特征向量的定义规定了特征向量是非零的。

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