2022年全国高中数学联赛二试几何题（A卷）详解
连接AC，取中点O。∠ABC=∠ADC=90°，所以ABCD在以AC为直径的圆上。
AP上取一点Q，使CQ//OY。
由ABCD共圆得∠AOB=2∠ADB，题意∠AXB=2∠ADB，所以∠AOB=∠AXB，所以AOXB四点共圆。
同理。
由ABCD共圆得∠AOD=2∠ABD，题意∠AYD=2∠ABD，所以∠AOD=∠AYD，所以AYOD四点共圆。
在四边形AYOD中，∠AYO+∠ADO=180°。AYX三点共线，所以∠AYO+∠OYX=180°。
所以∠OYX=∠ODA。
在圆ABCD中，半径=OA=OD，所以在圆AYOD中，∠ODA=∠OAD。
在圆ABCD中，∠OAD=∠DBC。所以∠OYX=∠DBC。
同理。
在圆AOXB中，∠OXY=∠OBA。
在圆ABCD中，半径=OA=OB，所以在圆AOXB中，∠OBA=∠BAC。
在圆ABCD中，∠BAC=∠BDC。所以∠OXY=∠BDC。
所以三角形OXY相似于三角形CDB。所以BD/XY=BC/OY。
因为CQ//OY，O是AC中点，所以OY是三角形ACQ的中位线。所以CQ=2OY。
所以OY和CQ平行，所以∠PQC=∠PYO。
前面证过∠PYO=∠CBP，所以∠PQC=∠CBP。
由题意∠APB=2∠CPD，所以∠APC=∠APD+∠CPD=180º－∠APB+∠DPC=180º－2∠CPD+∠PDC=180º－∠DPC=∠BPC
所以三角形CPQ和三角形CPB全等。(AAS)
所以CQ=CB，所以CB=2OY。
所以BD/XY=BC/OY=2，即BD=2XY。
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