2016年全国高中数学联赛加试T2解答

加试T2为平面几何。
　　题意如图，O1，O2O_1，O_2O1，O2分别为三角形XAC,YABXAC,YABXAC,YAB外心。BX×AC=CY×ABBX \times AC = CY \times ABBX×AC=CY×AB，求证:AU=AVAU=AVAU=AV

我仍然使用最擅长的三角法计算。本题计算的难度在于O1O2O_1O_2O1O2这条直线悬浮在空中，为了计算，必须要找到能依靠的边和角，而A为两圆的公共点，外心可以导角和，所以我处理的时候依靠图形AO1O2UVAO_1O_2UVAO1O2UV，而这个熟悉的图形又想到张角定理，这个思路十分自然，事实证明这个思路证明题目很快。

因为O1O2UVO_1O_2UVO1O2UV顺序不定，所以认为角有方向，以逆时针为正。
　　
　　在AO1O2UAO_1O_2UAO1O2U中使用张角定理，则
　　AO1sinUAO2+AO2sinO1AU=AUsinO1AO2{AO_1\over sinUAO_2}+{AO_2 \over sin O_1AU}={AU\over sinO_1AO_2}sinUAO2AO1+sinO1AUAO2=sinO1AO2AU
　　
　　同理在AO1O2VAO_1O_2VAO1O2V也有类似结论，由于等式右边仅仅AU,AVAU,AVAU,AV不同，所以为了证明AU=AVAU=AVAU=AV，只需证等式左边相等，再利用外心导角求出各个角并化简，有原命题等价于:
　　cosY+cos(A+Y)R1=cosX+cos(A+X)R2{cosY+cos(A+Y)\over R_1}={cosX+cos(A+X)\over R_2}R1cosY+cos(A+Y)=R2cosX+cos(A+X)
　　
　　利用正弦定理求出R1,R2R_1,R_2R1,R2，利用和差化积化简分子，等价于:
　　sinCsin(B+C2−Y)sinY=sinBsin(B+C2−X)sinX{sinCsin({B+C\over 2}-Y)\over sinY}={sinBsin({B+C\over 2}-X)\over sinX}sinYsinCsin(2B+C−Y)=sinXsinBsin(2B+C−X)
　　
　　利用和角公式化简，只需证:
　　sinCsinB+C2cotY−sinCcosB+C2=sinBsinB+C2cotX−sinBcosB+C2sinCsin{B+C\over 2}cotY-sinCcos{B+C\over 2}=sinBsin{B+C\over 2}cotX-sinBcos{B+C\over 2}sinCsin2B+CcotY−sinCcos2B+C=sinBsin2B+CcotX−sinBcos2B+C

把条件利用正弦定理化为:
　　sinXsin(C−Y)=sinYsin(B−X)sinXsin(C-Y)=sinYsin(B-X)sinXsin(C−Y)=sinYsin(B−X)

可验证这个式子和需要证明的式子等价。

这个解答只能算一个思路，计算过程省略了不少，但是没有实质性难度。如果是联赛，需要详细证明一下张角定理的推广形式(允许面积和角有正负)。

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