Borůvka算法与异或生成树

Borůvka算法

前几天才知道除了primprimprim和kruskalkruskalkruskal以外第三种求无向图MST的算法。

适用情况

平均 O(V+E)O(V+E)O(V+E)，最坏 O((V+E)logV)O((V+E)logV)O((V+E)logV)。
因为没有kruskalkruskalkruskal好写，所以一般不用于MST裸题。
相对于其他两种算法，适于处理边权由连接的两个点的点权通过某种计算方式得出的情况。

前置知识点

并查集、连通块

流程

对每个连通块，处理出与其他连通块连接的最小代价，并记录这条边。
连接所有连通块与其最小连接代价的连通块，并将该边边权计入。
若剩余连通块数量大于1，重复上述步骤。

代码

//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>pii;
//#define int ll
const int maxn=2e5+10,inf=0x3f3f3f3f,mod=1000000007;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps=1e-9;
int fa[maxn];
int findfa(int x)
{if(fa[x]!=x)fa[x]=findfa(fa[x]);return fa[x];
}
bool Merge(int x,int y)
{int a=findfa(x),b=findfa(y);if(a==b)return 0;if(a<b)fa[b]=a;elsefa[a]=b;return 1;
}
struct edge
{int u,v,w;edge(){}edge(int u,int v,int w):u(u),v(v),w(w){}
};
vector<edge> E;
int boruvka(int n)
{for(int i=1;i<=n;i++)//n个连通块fa[i]=i;int ans=0;vector<int> cost(n+1),rec(n+1);vector<bool> vis(E.size(),false);while(1){for(int i=1;i<=n;i++)cost[i]=inf;//初始化为infint cur=0;//统计不同连通块for(int i=0;i<E.size();i++){int a=findfa(E[i].u),b=findfa(E[i].v),w=E[i].w;if(a==b)continue;cur++;//记录a,b两个连通块连接的最小代价if(w<cost[a])cost[a]=w,rec[a]=i;//记录最小联通代价与相应边if(w<cost[b])cost[b]=w,rec[b]=i;}if(cur==0)break;for(int i=1;i<=n;i++){//最坏情况是剩余连通块数目减少一半if(cost[i]<inf&&!vis[rec[i]])//与i相接的权值最小的边未加入{Merge(E[rec[i]].u,E[rec[i]].v);//连接两个连通块ans+=E[rec[i]].w;vis[rec[i]]=true;//防止重复计算}}}return ans;
}
signed main(int argc, char const *argv[])
{std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);#ifdef DEBUGfreopen("input.in", "r", stdin);// freopen("output.out", "w", stdout);#endifint n,m;cin>>n>>m;for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){cin>>u>>v>>w;E.push_back({u,v,w});}cout<<boruvka(n)<<endl;return 0;
}

Xor-MST

题意

思路

异或最值问题，套一个trie，如果对这个套路不熟悉，请先做CF923C Perfect Security。
虽然已经没了Borůvka的形但是思想还在。
首先我们对所有点权排序并去重，因为相同的值异或为0，在图中必然是这些点相连且没有贡献，所以我们不用考虑这部分。
将剩下的点权插入trie，从根节点到叶子的一条路径就代表一个点权，叶子结点的数量就代表点权的数量。
初始时每个叶子都代表一个连通块，求解这个问题就是不断连接这些连通块的过程。
对于trie上的节点xxx，如果其左右子树都存在，那么就必须找一条边连接其左右子树，若xxx的所处位数为www，则这条边必有1<<w1<<w1<<w的贡献，对于www之前的位数，因为xxx到根节点路径相同异或值都为0；对于[w−1,0][w-1,0][w−1,0]的位数，这部分的贡献要对trie进行搜索来得到。
此时xxx左右子树已经联通，回溯继续向上处理即可。
checkcheckcheck最坏情况下一次遍历整个trie树，O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)，最多合并nlognnlognnlogn次。
整体时间复杂度O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)。

代码

//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>pii;
//#define int ll
const int inf=0x3f3f3f3f,mod=1000000007;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps=1e-9;
//#define DEBUG//#define lowbit(x) ((x) & -(x))//<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(9)
void read(){}
template<typename T,typename... T2>inline void read(T &x,T2 &... oth) {x=0; int ch=getchar(),f=0;while(ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}if(f)x=-x;read(oth...);
}
const int maxn = 200005, M = 2;
int val[maxn],trie[maxn<<5][M],siz[maxn<<5],tot;
void init()
{tot=1;
//  memset(trie[0],0,sizeof(trie[0]));
//  memset(isw,0,sizeof(isw));
}
void Insert(const int key)//rt传入0
{//trie插入模式串int rt=0;for(int i=30;i>=0;i--){int id = (key>>i)&1;if(!trie[rt][id])trie[rt][id]=tot++;rt = trie[rt][id];}
}
ll check(int x,int y,int w)//启发式,最多向下2^w次?，但最多1e5个节点
{//在x子树和y子树上求得一个最小异或值ll ret=LLONG_MAX;if(trie[x][0]&&trie[y][0])//尽量先使高位相同ret=min(ret,check(trie[x][0],trie[y][0],w-1));if(trie[x][1]&&trie[y][1])ret=min(ret,check(trie[x][1],trie[y][1],w-1));if(ret==LLONG_MAX){if(trie[x][0]&&trie[y][1])//w位此时一定为1了ret=min(ret,check(trie[x][0],trie[y][1],w-1))+(1<<w);if(trie[x][1]&&trie[y][0])ret=min(ret,check(trie[x][1],trie[y][0],w-1))+(1<<w);if(ret==LLONG_MAX)//说明两边没有节点return 0;}return ret;
}
ll dfs(int x,int w)//节点x开始搜索,右数第w位
{//从高位向下dfsif(w<0)//只有根节点为0return 0;if(trie[x][0]&&trie[x][1])//都存在,找最小边连接两个连通块return (1<<w)+check(trie[x][0],trie[x][1],w-1)+dfs(trie[x][0],w-1)+dfs(trie[x][1],w-1);else if(trie[x][0])//左面存在return dfs(trie[x][0],w-1);else//右面存在return dfs(trie[x][1],w-1);
}
signed main(int argc, char const *argv[])
{std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);#ifdef DEBUGfreopen("input.in", "r", stdin);// freopen("output.out", "w", stdout);#endifint n,ans=0;init();cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>val[i];sort(val+1,val+n+1);n=unique(val+1,val+n+1)-val-1;//去重是因为相同值异或为0,没必要再计算for(int i=1;i<=n;i++)Insert(val[i]);cout<<dfs(0,30)<<endl;return 0;
}