严加安

今年3月3日《中国科学报》“新知”专栏发表了我的一篇科普文章《概率破玄机，统计解迷离》。本文是该文的续篇。文章通过若干例子，进一步说明概率统计在我们日常生活中的作用。

“生日悖论”

n个人中至少有两人生日相同的概率是多少？这是有名的“生日问题”。令人难以置信的是：随机选取的23人中至少两人生日相同的概率居然超过50%，50人中至少两人生日相同的概率居然达到97%！例如，假定一个中学有20个班，每个班平均有50个学生，你可以调查一下，大概有十几个班都有至少两个相同生日的学生。这和人们的直觉是抵触的。因此这一结果被称为“生日悖论”。

其实，有关概率的计算很简单。首先计算50个人生日都不相同的概率。第一个人的生日有365个可能性，第二个人如果生日与第一个人不同，他的生日有364个可能性，依次类推，直到第50个人的生日与前面49个人都不同，有316个可能性，所以50人生日都不同的可能组合方式就是365乘364乘363一直乘到316，但由于每个人的生日是独立的，总的可能组合是365的50次方，这样一来，50个人生日都不相同的概率就等于两个组合数之比，这个概率非常小，约等于3%，至少两个人生日相同的概率约等于1减去3%，约等于97%，这样概率就计算出来了。

注意：如果预先选定一个生日，随机选取125人、250人、500人，出现某人生日正好是选定生日的概率分别大约只有30%、50%、75%，比想象的小得多。

如何理解社会和大自然中出现的奇迹

从概率论观点看，即使是极小概率的事件，如果重复很多次，会有很大概率发生。假设一事件发生概率为p，重复n次还不发生的概率为(1-p)n，当n足够大，这一概率就很小，从而该事件发生的概率为1-(1-p)n 就变得很大了。

对单个彩民和单次抽奖来说，中乐透头奖的概率大概是2250万分之一。“纽约乐透”每周三和周六晚间各开奖一次，每年开奖104次，40年间经历约4100次开奖。通常以前中过“纽约乐透”头奖的人还经常买“纽约乐透”彩票，而且每次下的注数都比较大。到2008年，在“纽约乐透”40年中，出现过3次一人中过两次头奖。这一事件发生的概率并不是非常小。

在河北省著名旅游景点野三坡的蚂蚁岭左侧，断崖边缘有一块直径10米、高4米的“风动石”，此石着地面积不足覆盖面积的1/20，尤其基部接触处只有两个支点。这也算是一个奇迹。大自然中的奇迹是地壳在亿万年的变迁中偶然发生的，但这种奇迹在历史的长河中最终出现是一种必然现象。正如我在《科学诗：随机与概率》中所言：“情境重复催生稀有事件，历史长河沉淀自然奇迹。”

“竞赛规则”藏玄机

假定有甲、乙两个乒乓球运动员参加比赛，已知甲的实力强于乙。现有两个备选的竞赛规则：“3局2胜制”，或“5局3胜制”。试问：哪一种竞赛规则对甲有利？

在“3局2胜制”规则下，只有“甲甲”、“甲乙甲”和“乙甲甲”这三种可能比赛场景导致甲最终获胜。假定单局中甲胜的概率为p，则甲最终获胜的概率为这三种场景的概率之和，等于f(p)=[1+2(1-p)]p2 。同理，在“5局3胜制”规则下，打满三局甲获胜只有“甲甲甲”这一场景；打满四局甲获胜有“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”、“甲甲乙甲”三种可能场景；打满五局甲获胜有六种可能场景(具体描述留给读者)。因此甲最终获胜的概率为这十种场景的概率之和，等于g(p)=[1+3(1-p)+6(1-p)2]p3。当p>1/2时，容易证明g(p)>f(p)。因此，“5局3胜制”规则对甲有利。

分组混合血标本检验既省钱又省时

某医院对一群人进行一项关于艾滋病的抗-HIV1/2检验。如果对每个人的血标本单独检验，既费时，成本又高。如果采用“分组混合血标本检验”，可以节省成本和时间。具体做法如下：假定采集到N个血标本，把每个血标本平分成两份，一份留做备用。另一份平均分成M组，将每组的血标本混合在一起进行一次性检验。如果发现某组检测为阳性，再用该组相关人的备用血标本进行逐个检验，筛查出艾滋病患者。

问题是：如何根据血标本数量N和患艾滋病的概率p来确定分组数M，或每组的血标本个数k，其中k=N/M(假定k为整数)，使得平均检验次数达到最低？令q=1-p，一组血标本检验是阴性的概率为qk，一组血标本检验是阳性的概率为1-qk 。对血检为阳性的组而言，共计需要进行k+1次检验。因此，平均检验总次数为N/k[qk +(k+1)(1- qk )]。由此通过计算机计算可以确定最佳的k。

“统计平均”的陷阱

我们曾在《概率破玄机，统计解迷离》一文中举例说明“统计平均”存在陷阱，下面再举一个例子说明这一点。

假定某大学数学系有教授15人、副教授40人、讲师和助教25人，这三类人的平均年收入分别是15万、12万、8万，该单位职工平均年收入为10万。又假定科学院某研究所有研究员60人、副研究员30人、助研30人，这三类人的平均年收入分别是14万、11万、7万，但该研究所职工平均年收入为11.5万，高出那个系职工平均年收入1.5万。这一例子表明：由于各单位人员构成比例不同，单位职工平均年收入这一指标不能真实反映单位职工的收入状况。

这一例子给了我们一些启示：有些新闻报道中的统计平均数字没有实际意义。例如，2010年2月国家统计局公布称，2009年我国70个大中城市房价同比上涨1.5%，这与大城市居民的实际感受完全背离，被网友戏称为“房价被拉低”。接受这次教训，国家统计局于2011年2月16日正式宣布，今后将不再发布全国70个城市房价涨幅平均数，理由是“平均数在个体差异较大的情况下，往往会削峰填谷，抹平个体间的差异。”这是一个明智的决定。

(作者系中国科学院院士、中科院数学与系统科学研究院研究员)

《中国科学报》 (2012-06-08 B4 作品)