动态规划算法解Travelling Salesman Problem（TSP）问题

转载自：https://mp.weixin.qq.com/s/gLO9UffCMEqqMVxkOfohFA

Travelling Salesman Problem (TSP) 是最基本的路线问题。它寻求的是旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点后，再次返回起点所花费的最小路径成本

动态规划算法（Dynamic Programming，简称DP）通常用于求解具有某种最优性质的问题，其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后由这些子问题的解再得到原问题的解。

假设现在有四个城市，它们分别是0，1，2，3，他们之间往来的代价如下图所示：

为了方便起见，把它化成二维表的形式：

这是一个最基本的TSP问题，且构成最优子结构性质，所以可以使用动态规划求解，下面来验证一下此方法求解的可行性。

设 s，s1，s2…s为满足题意的最短回路。假设从s到s1的路径已经确定，则问题转化为从s1到s的最短路径问题。而很显然，s1，s2…s一定可以构成一条最短路径，所以构成最优子结构性质，可以用动态规划求解。

明确问题可解，那下一步就是列方程求解了。

动态规划方程

用 V’ 表示一个点的集合，假设从顶点 s 出发，

d ( i , V’ ) 表示当前到达顶点 i，经过 V’ 集合中所有顶点一次的最小花费。

① 当 V’ 为仅包含起点的集合，也就是：

d ( s , { s } ) = 0 ;

② 其他情况，则对子问题求最优解。需在 V’ 这个城市集合中，尝试每一个城市结点，并求出最优解。

（要想计算全部点之间的最小路径，先单拿出一个点，然后对剩下点计算最小路径，依次向下迭代）

③ 最后的求解方式为:

状态压缩

利用二进制以及位运算来实现对于本来应该很大的数组的操作。而求解动态规划问题，很重要的一环就是状态的表示，一般来说，一个数组即可保存状态。

但是有这样的一些题目，它们具有DP问题的特性，但是状态中所包含的信息过多，如果要用数组来保存状态的话需要四维以上的数组。于是，我们就需要通过状态压缩来保存状态，而使用状态压缩来保存状态的DP就叫做状态压缩DP。

例题TSP的动态规划方程中，V’ 是一个集合，而对于集合的状态表示最简单的办法就是利用C++中STL里的set，但是这个时候就要考虑一个问题，在代码实现的时候，我们不能用一个集合去做一个数组的下标。自然而然，我们想到可以利用集合的特征值，但这个方法很复杂，而且不容易实现。

在这里普及一下位运算的知识。最简单的与（and），或 ( or )，非 ( not )，大家都很熟悉，和逻辑电路是相通的。而对于异或 ( xor ), 则是很有趣的一种位运算，它的运算规则是相同为 0，不同为 1。例如：

1 xor 1 = 0，0 xor 0 = 0，

1 xor 0 = 1，0 xor 1 = 1；

它的运算满足交换律以及结合律。

再复杂一点的有左移 ( shl )，右移 ( shr )，相当于对于二进制数的位置移动。例如10001(2) shl 1，就是10001(2)左移一位，变成了100010(2)，换算成十进制，相当于扩大了 2 倍，同理右移则是缩减两倍。那么对于任意的一个二进制数，左移 k 位就是乘 2^k, 右移就是整除 2^k 。

|||| 小贴士：

在C++中，位运算操作符分别是：

与 &，或 |，非 ~，异或 ^，

左移 <<，右移 >>

推到动态规划方程时，我们注意到 V’ 是一个数的集合，而且解决的问题规模比较小，于是可以用一个二进制数来存储这个集合。简单来说就是——如果城市 k 在集合 V’ 中，那么存储集合的变量 i 的第 k 位就为 1，否则为 0。由于有 n 个城市，所有的状态总数我们用 M 来表示，那么很明显：M = 2^n，而 0 到 2^n -1 的所有整数则构成了 V’ 的所有状态。这样，结合位运算，动归方程的状态表示就很容易了。

代码示例（C++）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 定义常量
const int INF = 0x3f3f3f3f;
#define sqr(x) ((x)*(x))
// 定义变量
string file_name;
int type; // type == 1 满秩矩阵格式, type == 2 二维坐标式
int s;
int N;// 城市结点数量
int init_point;
double **dp; // 动态规划状态数组dp[i][j]，i表示集合V’，j表示当前到达的城市结点
double **dis; // 两个城市结点之间的距离
double ans;
// 定义结构体
struct vertex{double x, y; // 城市结点的坐标int id; // 城市结点的idint input(FILE *fp){return fscanf(fp, "%d %lf %lf", &id, &x, &y);}
}*node;double EUC_2D(const vertex &a, const vertex &b){return sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y));
}void io(){ // 数据读入printf("input file_name and data type\n");cin >> file_name >> type;FILE *fp = fopen(file_name.c_str(), "r");fscanf(fp, "%d", &N);node = new vertex[N + 5];dis = new double*[N + 5];if (type == 1){for (int i = 0; i < N; i ++){dis[i] = new double[N];for (int j = 0; j < N; j ++)fscanf(fp, "%lf", &dis[i][j]);}}else{for (int i = 0; i < N; i ++)node[i].input(fp);for (int i = 0; i < N; i ++){dis[i] = new double[N];for (int j = 0; j < N; j ++)dis[i][j] = EUC_2D(node[i], node[j]);// 计算城市之间的距离}}fclose(fp);return;
}void init(){ // 数据初始化dp = new double*[(1 << N) + 5];for(int i = 0; i < (1 << N); i++){dp[i] = new double[N + 5];for(int j = 0; j < N; j++)dp[i][j] = INF; } // 初始化，除了dp[1][0]，其余值都为INFans = INF;return;
}double slove(){int M = (1 << N); // M就是第四部分所说的V’状态总数，1<<N表示2^N，总共有2^N种状态dp[1][0] = 0; // 假设固定出发点为0，从0出发回到0的花费为0。TSP只要求是一个环路，所以出发点可以任选for (int i = 1; i < M; i ++){ // 枚举V’的所有状态for (int j = 1; j < N; j ++){ // 选择下一个加入集合的城市if (i & (1 << j)) continue; // 城市已经存在于V’之中if (!(i & 1)) continue; // 出发城市固定为0号城市for (int k = 0; k < N; k ++){ // 在V’这个城市集合中尝试每一个结点，并求出最优解if (i & (1 << k)){ // 确保k已经在集合之中并且是上一步转移过来的结点dp[(1 << j) | i][j] = min(dp[(1 << j) | i][j], dp[i][k] + dis[k][j]); // 转移方程} // 将j点加入到i集合中}}}for (int i = 0; i < N; i ++)ans = min(dp[M - 1][i] + dis[i][0], ans);// 因为固定了出发点，所以要加上到城市0的距离。另外要从所有的完成整个环路的集合V’中选择，完成最后的转移return ans;
}int main(){io();init();string tmp = file_name + ".sol";FILE *fp = fopen(tmp.c_str(), "w");fprintf(fp, "%.2lf\n", slove());delete[] dp;delete[] node;delete[] dis;fclose(fp);return 0;
}