集合论之关系

关系及其性质
- 关系定义
- - 若A有m个元素，B有n个元素，则集合A到B有多少个不同的二元关系？
  - 空关系
  - 全域关系
  - 恒等关系
  - 其他关系
  - 定义域
  - 值域
  - 域
- 关系的3种表示方法
- - 集合方式序偶的集合
  - 代数方式关系矩阵适合计算
  - 几何方式关系图直观
- 关系5个常见性质
- - 自反反自反
  - 对称反对称
  - 传递性
  - 总结
关系的运算
- 关系矩阵的布尔运算
- 逆运算
- 复合运算 (重点)右复合
- - 复合定理
  - 关系矩阵求复合（矩阵布尔积）
  - 对于一个关系，可以连续做复合，即R的n次幂
- 闭包运算（重点）
- - 闭包的定义
  - - 自反闭包
    - 对称闭包
    - 传递闭包
    - 定理
- 关系性质与运算总结
- - 判断关系性质的充要条件
  - 关系保持
  - 闭包运算
等价关系与序关系
- 几种特殊的二元关系
- 等价关系及划分
- - 划分
- 等价关系
- - 等价类
  - 定理
  - 商集相关定理
- 证明和判断一个关系是否是等价关系
- 已知等价关系，写出其对应的划分/ 给定一个划分，写出其等价的等价关系
- 偏序关系
- - 哈斯图
  - 8个特定元素
函数
- 函数的复合
总结

关系及其性质

关系定义

设A,B为集合，AXB的任何子集叫做从A到B的二元关系，当A=B时，叫做A上的二元关系，简称为关系，记作R.
关系的本质：

是一个集合
是一个笛卡尔乘积的子集

若<x,y> ∈\in∈R,记作xRy;若<x,y>∉\notin∈/R,记作xR(斜杠)y

若A有m个元素，B有n个元素，则集合A到B有多少个不同的二元关系？

A到B有mn个元素
关系是集合的子集，就是幂集的概念，所以变相的求P(AXB)=2^(AXB)=2mn

空关系

∅\emptyset∅是A上的关系，就称为空关系

全域关系

E_A={<x,y>|x∈\in∈A,y∈\in∈A}=AXA

恒等关系

I_A={<x,x>|x∈\in∈A}

其他关系

整除关系D，小于等于关系L，包含R，与数学上的概念相同。

定义域

记作domR,关系上有序对第一个元素的集合

值域

记作ranR,关系上有序对第二个元素的集合

域

定义域与值域合起来，就是域

关系的3种表示方法

集合方式序偶的集合

枚举有序对

代数方式关系矩阵适合计算

用1和0,表示A中元素与B中集合是否有关系。只写出1来，剩下的补0就可以了。

几何方式关系图直观

若x中结点和y中的结点有关系，那么以x结点为起点，到y中结点画一条有向边。

关系5个常见性质

自反反自反

∀\forall∀x∈\in∈A,有XRX,称为自反关系
∀\forall∀x∈\in∈A,有XR（斜杠）X,称为反自反关系，如全域关系，恒等关系，小于等于关系，整除关系
如果一个关系R是自反的，那么它一定不是反自反的。如实数集上的小于关系，幂集上的真包含关系。

对称反对称

对于任意的∀\forall∀XRY，有YRX就是对称关系。如A上的全域关系，恒等有关系，空关系。
对于任意的∀\forall∀XRY,同时YRX,有X=Y，就称为反对称关系。如：恒等关系，空关系

传递性

(∀\forall∀<x,y>)(∀\forall∀<y,z>)(<x,y>∈\in∈R⋀\bigwedge⋀<y,z>∈\in∈R→\rightarrow→<x,z>∈\in∈R),称R是A上的传递关系。
若xRy,yRz→\rightarrow→xRz,如A上的全域关系，恒等关系和空关系
小于等于关系，小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系。

总结

关系的运算

关系是一个集合（笛卡尔乘积的子集），因此集合的运算及规律均适用于关系。

关系矩阵的布尔运算

每个元素要么是1要么是0.那么就叫布尔矩阵
两个布尔矩阵的，可以定义并，交，乘

逆运算

由A到B,得到B到A上的关系，通过颠倒两个元素的位置。

复合运算 (重点)右复合

A中的某个元素，能否在中间集合中，找到一个中间元素，指向集合C中一个元素。那么A到C可定义一个关系，这个关系就是复合关系。记为：ROS，R为A到B的关系 ,S为B到C关系

复合定理

关系矩阵求复合（矩阵布尔积）

M_RXS=M_{R ⨀\bigodot⨀ M_S//顺序不能颠倒}

对于一个关系，可以连续做复合，即R的n次幂

R是A上的一个关系。R和R可做复合。
R^0={<x,x>|x∈\in∈A}=I _A ,即对角线的元素全为1，非对角线元素全为0.
R^(n+1)=Rn∘\circ∘R,n可以从1开始。
n次幂的几何意义，是描述关系中长度为n的关系。（长度：指由几个关系构成的复合关系）

闭包运算（重点）

闭包的定义

自反闭包

比R大，包含R,添加的元素最少
包含R的最小的自反关系。记为r®

对称闭包

同上，换成对称，记为s®

传递闭包

同上，换成传递，记为t®

定理

要会证明。

关系性质与运算总结

判断关系性质的充要条件

关系保持

施加关系后，所得关系仍具有相同的性质

闭包运算

等价关系与序关系

几种特殊的二元关系

等价关系及划分

划分

两两不相交，全覆盖集合

等价关系

满足自反，对称的和传递的关系，记为x ~ y

等价类

等价关系的子集。

定理

商集相关定理

证明和判断一个关系是否是等价关系

已知等价关系，写出其对应的划分/ 给定一个划分，写出其等价的等价关系

集合A上给出一个划分和给出一个等价关系是一一对应的商集A/R就是这个划分

偏序关系

A上的恒等关系
小于等于关系，大于等于关系
整除关系
包含关系

哈斯图

8个特定元素

函数

函数的复合

总结

与英语二一样，少做笔记，关键是理解。

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