机器数

一、数的符号数值化。实用的数据有正数和负数，由于计算机内部的硬件只能表示两种物理状态(用0和1表示)，因此实用数据的正号“+”或负号“-”，在机器里就用一位二进制的0或1来区别。通常这个符号放在二进制数的最高位，称符号位，以0代表符号“+”，以1代表符号“-”。因为有符号占据一位，数的形式值就不等于真正的数值，带符号位的机器数对应的数值称为机器数的真值。 例如二进制真值数-011011，它的机器数为 1011011。

二、二进制的位数受机器设备的限制。机器内部设备一次能表示的二进制位数叫机器的字长，一台机器的字长是固定的。字长8位叫一个字节(Byte)，现在机器字长一般都是字节的整数倍，如字长8位、16位、32位、64位。

真值

因为有符号占据一位，数的形式值就不等于真正的数值，带符号位的机器数对应的数值称为机器数的真值。 例如二进制真值数-011011，它的机器数为 1011011。

机器数的分类

根据小数点位置固定与否，机器数又可以分为定点数和浮点数。 通常，使用定点数表示整数，而用浮点数表示实数。整理如下：

(1)整数

认为整数没有小数部分，小数点固定在数的最右边。整数可以分为无符号整数和有符号整数两类。无符号整数的所有二进制位全部用来表示数值的大小；有符号整数用最高位表示数的正负号，而其他位表示数值的大小。例如十进制整数-65的计算机内表示可以是11000001。

(2)实数

实数的浮点数表示方法是：把一个实数的范围和精度分别用阶码和尾数来表示。在计算机中，为了提高数据表示精度，必须唯一地表示小数点的位置，因此规定浮点数必须写成规范化的形式，即当尾数不为0时，其绝对值大于或者等于0.5且小于1(注：因为是二进制数，要求尾数的第1位必须是1).例如设机器字长为16位，尾数为8位，阶码为6位，则二进制实数-1101.010的机内表示为0000100111010100。

机器数与真值

不带符号的数是数的绝对值，在绝对值前加上表示正负的符号就成了符号数。直接用正号“+”和负号“-”来表示其正负的二进制数叫做符号数的真值。在计算机中不仅用0，1编码的形式表示一个数的数值部分，正、负号亦同样用0，1编码表示。把符号数值化以后，就能将它用于机器中。我们把一个数在机器内的表示形式称为机器数。而这个数本身就是该机器数的真值。“01101”和“11101”是两个机器数，而它们的真值分别为+1101和-1101。

机器数的原码、反码和补码三种形式

原码

将数的真值形式中“+”号用“0”表示，“-”号用“1”表示时，叫做数的原码形式，简称原码。若字长为n位，原码一般可表示为：

(1)当X为正数时[X]原和X一样，即[X]原 = X。当X为负数时 。由于X本身为负数，所以，实际上是将∣X∣数值部分绝对值前面的符号位上写成“1”即可。

原码表示法比较直观，它的数值部分就是该数的绝对值，而且与真值、十进制数的转换十分方便。但是它的加减法运算较复杂。当两数相加时，机器要首先判断两数的符号是否相同，如果相同则两数相加，若符号不同，则两数相减。在做减法前，还要判断两数绝对值的大小，然后用大数减去小数，最后再确定差的符号，换言之，用这样一种直接的形式进行加运算时，负数的符号位不能与其数值部分一道参加运算，而必须利用单独的线路确定和的符号位。要实现这些操作，电路就很复杂，这显然是不经济实用的。为了减少设备，解决机器内负数的符号位参加运算的问题，总是将减法运算变成加法运算，也就引进了反码和补码这两种机器数。

反码

如前所述，为了克服原码运算的缺点，采用机器数的反码和补码表示法。若字长为n位，反码可表示为：

(2)即对正数来说，其反码和原码的形式相同；对负数来说，反码为其原码的数值部分各位按位取反。

补码

补码是根据同余的概念引入的，我们来看一个减法通过加法来实现的例子。假定现在是北京时间6点整，有一只手表却是8点整，比北京时间快了2小时，校准的方法有两种，一种是倒拨2小时，一种是正拨10小时。若规定倒拨是做减法，正拨是做加法，那么对手表来讲减2与加10是等价的，也就是说减2可以用加10来实现。这是因为8加10等于18，然而手表最大只能指示12，当大于12时12自然丢失，18减去12就只剩6了。这说明减法在一定条件下，是可以用加法来代替的。这里“12”称为“模”，10称为“-2”对模12的补数。推广到一般则有：

A – B = A + ( – B + M ) = A + ( – B )补

(3)可见，在模为M的条件下，A减去B，可以用A加上-B的补数来实现。这里模(module)可视为计数器的容量，对上述手表的例子，模为12。

(4)简言之，对正数来说，其补码和原码的形式相同；而从(3)式和(4)式可以看出，对于负数，补码为其反码的末位加1。

总之，正数的原码、反码和补码是完全相同的；负数的原码、反码和补码其形式各不相同。另外，特别要注意的是，对于负数的反码和补码(即符号位为1的数)，其符号位后边的几位数表示的并不是此数的数值。如果要想知道此数的大小，一定要求其反码或补码才行。