lu分解

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在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。

中文名: lu分解
本质: 高斯消元法的一种表达形式

学科: 线性代数
应用: 数值分析

简介

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将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，且当L的对角元全为1时分解唯一。其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。

4阶矩阵的LU分解

算法

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LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。这正是所谓的杜尔里特算法（Doolittle algorithm）：从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。这类算法的复杂度一般在(三分之二的n三次方) 左右。^[2]

示例程序

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Java

import java.util.Arrays;
/*** 矩阵的直接三角分解 ，调用示例：* * DirectDecomposition dd = new DirectDecomposition(data);//data为一个二维double数组，代替一个矩阵* * double[][] l = dd.getL();//获取L* * double[][] u = dd.getU();//获取U* * @author 清雨季*/
public class DoolittleDecomposition {private double[][] data;private double[][] l;private double[][] u;private int n;/*** 创建一个n阶的矩阵* * @param n*/public DoolittleDecomposition(double[][] data) {if (data == null || data.length == 0 || data.length != data[0].length) {throw new RuntimeException("不是一个方阵");}this.data = data;n = data.length;l = new double[n][n];u = new double[n][n];countLU();}protected void countLU() {for (int i = 0; i < n; i++) {// 第一步，计算L的第一列和U的第一行：U1i=A1i,Li1=Ai1/U1iu[0][i] = data[0][i];l[i][0] = data[i][0] / u[0][i];}for (int r = 1; r < n; r++) {for (int i = r; i < n; i++) {u[r][i] = data[r][i] - sumLrkUki(r, i);l[i][r] = (data[i][r] - sumLikUkr(r, i)) / u[r][r];}}}/*** 求和：Lrk*Uki 对k求和：1<=k<=r-1* * @param r* @param i* @return*/private double sumLrkUki(int r, int i) {double re = 0.0;for (int k = 0; k < r; k++) {re += l[r][k] * u[k][i];}return re;}private double sumLikUkr(int r, int i) {double re = 0.0;for (int k = 0; k < r; k++) {re += l[i][k] * u[k][r];}return re;}public double[][] getData() {return data;}public double[][] getL() {return l;}public double[][] getU() {return u;}public static void main(String[] args) {double[][] data= {{1,2,6},{2,5,15},{6,15,46},};DoolittleDecomposition dd = new DoolittleDecomposition(data);double[][] l = dd.getL();double[][] u = dd.getU();int n = l.length;System.out.println("L阵：");for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.println(Arrays.toString(u[i]));}System.out.println("---------------------");System.out.println("U阵：");for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.println(Arrays.toString(l[i]));}}
}

改进

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（i）Doolittle分解

对于非奇异矩阵（任n阶顺序主子式不全为0）的方阵A，都可以进行Doolittle分解，得到A=LU，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；这里的Doolittle分解实际就是Gauss变换；

（ii）Crout分解

对于非奇异矩阵（任n阶顺序主子式不全为0）的方阵A，都可以进行Crout分解，得到A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵；

（iii）列主元三角分解

对于非奇异矩阵的方阵A，采用列主元三角分解，得到PA=LU，其中P为一个置换矩阵，L，U与Doolittle分解的规定相同；

（iv）全主元三角分解

对于非奇异矩阵的方阵A，采用全主元三角分解，得到PAQ=LU，其中P，Q为置换矩阵，L，U与Doolittle分解的规定相同；

（v）直接三角分解

对于非奇异矩阵的方阵A，利用直接三角分解推导得到的公式（Doolittle分解公式或者Crout分解公式），可以进行递归操作，以便于计算机编程实现；

（vi）“追赶法”

追赶法是针对带状矩阵（尤其是三对角矩阵）这一大稀疏矩阵的特殊结构，得出的一种保带性分解的公式推导，实质结果也是LU分解；因为大稀疏矩阵在工程领域应用较多，所以这部分内容需要特别掌握。

（vii）Cholesky分解法（平方根法）和改进的平方根法

Cholesky分解法是是针对正定矩阵的分解，其结果是 A=LDLT=LD(1/2)D(1/2)LT=L1L1T。如何得到L1，实际也是给出了递归公式。

改进的平方根法是Cholesky分解的一种改进。为避免公式中开平方，得到的结果是A=LDLT=TLT，同样给出了求T,L的公式。

小结：

（1）从（i）~（iv）是用手工计算的基础方法，（v）~（vi）是用计算机辅助计算的算法公式指导；

（2）这些方法产生的目的是为了得到线性方程组的解，本质是高斯Gauss消元法。

参考资料

1. 白峰杉．数值计算引论（第二版）．北京：高等教育出版社，2010
2. LU分解．csdn[引用日期2012-12-1]

14.高斯消元法的求解过程可大致分为两个阶段:(1)把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过程;(2)用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
15.定义3.1: 设A为n阶矩阵，L为n阶下三角阵，U为n阶上三角阵。如果A=LU，则说明矩阵A实行了三角分解或LU分解。
16.定义3.2: 如果L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该三角分解为杜里特（Doolittle）分解；如果L为下三角阵，U为单位上三角阵，则称A=LU为克劳特（Crout）分解。
定理3.1：n阶（n≥2）矩阵A有唯一杜里特分解（或克劳特分解）的充要条件是A的前n-1个顺序主子式都不为零。
定理3.2:设A为对称正定矩阵，则有非奇异下三角阵L，使A=LLT;当限定L的对角元全为正时，这种分解是唯一的。

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