[SDOI2015]序列统计

题目描述

小C有一个集合\(S\)，里面的元素都是小于\(M\)的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为\(N\)的数列，数列中的每个数都属于集合\(S\)。小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数\(x\)，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积\(mod M\)的值等于\(x\)的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列\({A_i}\)和\({B_i}\)不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足\(A_i≠B_i\)。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案\(mod \ 1004535809\)的值就可以了。

输入输出格式

输入格式：

一行，四个整数，\(N、M、x、|S|\)，其中\(|S|\)为集合S中元素个数。第二行，\(|S|\)个整数，表示集合\(S\)中的所有元素。

输出格式：

一行，一个整数，表示你求出的种类数\(mod\ 1004535809\)的值。

输入输出样例

输入样例#1：

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4 3 1 2
1 2

输出样例#1：

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8

说明

【样例说明】

可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

【数据规模和约定】

对于10%的数据，\(1\le N\le 1000\)；

对于30%的数据，\(3\le M\le 100\)；

对于60%的数据，\(3\le M\le 800\)；

对于全部的数据，\(1\le N\le 10^9，3\le M\le 8000，M为质数，1\le x\le M-1\)，输入数据保证集合\(S\)中元素不重复

我们构造函数\(A(x)=\sum_{i}[i\in S]x^i\)，答案就是\(A\)自卷\(N\)次过后第\(x\)项的系数。

不过这个卷积不太寻常：\(\displaystyle c(x)=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^M[i*j\% M==x]\cdot a(i)\cdot b(j)\)。

除法非常难处理，于是我们考虑转化为我们熟悉的加法。将乘法转化为加法，很容易就想到质数函数。我们设幂为\(g\)，则\(g^{a*b}=g^a+g^b\)。我们对于没个数\(i\)，我们取\(x\)为它的代表元，满足\(g^x\%M==i\)。

考虑选取原根\(g\)，因为\(g^x\)在\(x\in[1,M-1]\)时两两不同。

于是我们将0舍去，然后就可以将乘法卷积转化为加法卷积了。具体实现要用到快速幂，每次卷积一次后，要将下标\(x\ge M-1\)的部分的值累加在\(x-(M-1)\)下标的位置上。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXM 8005
#define mod 1004535809
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}int n,m,x,num;
ll ksm(ll t,ll x,ll M) {ll ans=1;for(;x;x>>=1,t=t*t%M)if(x&1) ans=ans*t%M;return ans;
}ll Find(ll m) {if(m==2) return 1;for(int i=2;i<=m-1;i++) {int flag=1;for(int j=2;j*j<m;j++) {if(ksm(i,(m-1)/j,m)==1) {flag=0;break;}}if(flag==1) return i;}
}int id[MAXM];
int rev[MAXM<<2];
void NTT(ll *a,int d,int flag) {static const ll G=3;int n=1<<d;for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int s=1;s<=d;s++) {int len=1<<s,mid=len>>1;ll w=flag==1?ksm(G,(mod-1)/len,mod):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len,mod);for(int i=0;i<n;i+=len) {ll t=1;for(int j=0;j<mid;j++,t=t*w%mod) {ll u=a[i+j];ll v=t*a[i+j+mid]%mod;a[i+j]=(u+v)%mod;a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;}}}if(flag==-1) {ll inv=ksm(n,mod-2,mod);for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;}
}ll a[MAXM<<2];
ll f[MAXM<<2],ans[MAXM<<2];
void mul(ll *a,ll *b,int d) {for(int i=0;i<(1<<d);i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;NTT(a,d,-1);for(int i=0;i<m-1;i++) (a[i]+=a[i+m-1])%=mod,a[i+m-1]=0;
}void ksm(int k) {ans[0]=1;int d=ceil(log2(m*2));for(;k;k>>=1) {if(k&1) {NTT(ans,d,1),NTT(f,d,1);mul(ans,f,d);NTT(f,d,-1);}NTT(f,d,1);mul(f,f,d);}
}int main() {n=Get(),m=Get(),x=Get(),num=Get();ll g=Find(m);ll now=1;for(int i=0;i<m-1;i++) {id[now]=i;now=now*g%m;}int a;for(int i=1;i<=num;i++) {a=Get();if(a) f[id[a]]=1;}ksm(n);cout<<ans[id[x]];return 0;
}